استفاده از تکنولوژی های جدید در تدریس ریاضی

استفاده از تکنولوژی های جدید در تدریس ریاضی
کلمات کلیدی:, ICTتدریس , یادگیری,ریاضی ,تکنولوژی,حل مساله

مقدمه :

امروزه شرایط آموزش در مدارس ما بر اساس نظریه های جدید یادگیری مهیا نیست ولی باید توجه داشت که با علم به سطح آگاهی دانش آموزان ، انگیزه ها و شرایط جدید جامعه، تأکید روی روشهای قدیمی تدریس و استفاده ی محض از روشهای سنتی نیز مؤثر نیست.

این سخن به معنای این است که دانش آموزان امروزی را نمی توان با شیوه های قدیمی تدریس به صورت منفعل در کلاس نشاند و برای آنان مفاهیم ریاضی را تدریس کرد، تجربه و تحقیق نشان داده است که یادگیری دراین روش سطحی بوده و قابل اعتماد نیست.

کتب ریاضی با این هدف فعالیت ها را در خود گنجانده اند، هدف اصلی فعالیت کشف مفهوم جدید توسط خود دانش آموزان است. بهترین شرایط ایجاد این موقعیت کار در گروه های کوچک دانش آموزی است البته فعالیت هایی که جنبه خلاقیت دارند بهتر است به صورت فردی حل شوند.

هنگامی که دانش آموزان مشغول حل فعالیت هستند با پاسخ به سؤالات هدایت شده باید با استفاده از دانسته های قدیم خود دانش جدید را تولید کرده و در حقیقت مفهوم جدید را به مفاهیم موجود در ذهن خود پیوند بزنند.ونکته ی مهم برای درگیر کردن وغرق کردن دانش آموز در علم ریاضی

درکلاس درس ونشان دادن مساله کاربردی وحل آن به کمک آن به کمک تکنولوژی های جدید کارگاهی وروش های جدید حل مساله است

روش های جدید تدریس با کمک گرفتن از مواد جدید آموزشی و ict توانسته است ریاضیات انتزاعی رابه صورت ملموس در بیاورد ودانش آموز کنجکاو راغرق در کاربردها وریاضیات کاربردی در آورد,من در این مقاله سعی نموده ام با توجه به روش های نوین تدریس بحث تکنولوژی های جدید آموزشی را با رویکرد ictونرم افزارهای جدید آموزشی در ریاضیات را مورد بررسی قرار دهم.

عوامل مؤثر در حرکت به سوی برنامة درسی تلفیق شده با ICT
تغییرات بسیاری در اثر ورود ICT در سطح جوامع رخ داده است. برخی از عوامل حرکت آموزش و پرورش به سوی برنامة درسی تلفیق شده با ICT، عبارتند از:
 1پیشرفت سریع علوم و فناوری؛
 2افزایش گرایش‌های تخصصی در هر رشته؛
3 فاصله بیش از حد نیاز‌های جامعه و آنچه را که نظام آموزشی کنونی ارائه می‌دهد؛
4ناتوانی نظام آموزشی فعلی در پاسخ گویی به تنوع مورد نیاز جامعه؛
5افزایش سطح مهارت و دانش مورد نیاز برای انجام فعالیت‌هادر یک زمینة تخصصی؛
 6استفاده از امکانات این فناوری در جهت آموزش اکتشافی و بازتابی؛
 7تأثیرریاضیدرپیشرفتعلمکامپیوتر؛
 8تأثیرکامپیوتر در پیشرفت علم ریاضی؛نقش فناوری در آموزش ریاضی
به عقیدة رامبرگ (1988)، امروزه هیچ کس با محاسبات کاغذ و مدادی، امرار معاش نمی کند. ماشین حساب‌ها و کامپیوترها، جایگزین محاسبه‌های خرید وفروش در کار و صنعت شده‌اند. به علاوه، این ابزارهای الکترونیکی قادر به انجام محاسبه در حجم زیاد و سریع و نمایش اطلاعات به راههای مختلف و غیره هستند. آن‌ها مهارت‌های مورد تأکید در درس‌های ریاضی را تغییر داده‌اند. کامپیوتر وسیلة سریعی است که می‌تواند محاسبات طاقت فرسا را به راحتی انجام دهد و اثر بی نظیر آن بر ریاضیات، مشابه اثر ماشین چاپ بر خواندن و نوشتن است. ماشین چاپ مهارت‌های خاصی را منسوخ کرد (مثل خطاطی)، همچنین کتاب‌ها را در دسترس همگان قرار داد و نیاز افراد را به طور وسیعی به خواندن و نوشتن افزایش داد.
همان طور که شورای ملی معلمان ریاضی  در استانداردهای برنامة درسی(1991) نیز بر این مهم تأکید دارد که:
 بعضی از مباحث ریاضی مهمتر می‌شوند زیرا تکنولوژی به آنها نیاز دارد.
 بعضی از مباحث ریاضی کماهمیت تر می‌شوند چون تکنولوژی جایگزین آن می‌شود.
 بعضی از مباحثریاضی ممکن می‌شوند زیرا تکنولوژی آن را میسر می‌سازد.

طرحِ پنج سؤال کلیدی برای توسعة آموزش و یادگیری ریاضی تلفیق شده با ICT
همان طور که اشاره شد، استفادة مناسب از ICT می‌تواند آموزش و یادگیری ریاضی را تقویت کند.

 با پاسخ گویی به 5 سؤال کلیدی زیر می‌توان از ICT برای توسعة آموزش و یادگیری ریاضی در کلاس درس بهره‌مند شد. بنابراین در ادامة این مقاله، برای هر یک از این سؤال‌ها زیر توضیحات و پاسخ‌های مفیدی ارایه شده است.
 چرا باید از ICT استفاده کنیم؟
 کدامیک از بخش‌های ریاضی می‌تواند مفید واقع شود؟
 از کدام ICT باید استفاده شود؟
 چگونه استفاده از ICT سازمان‌دهی می‌شود؟
 چگونه با استفاده از ICT تدریس کنیم؟

1. چرا باید از ICT استفاده کنیم؟
قبل از اینکه ببینیم چه ICT ایی در دسترس است و یا کدام قسمت خاص از یک نرم‌افزار باید با این درس ریاضی استفاده شود، این موضوع خیلی مهم است که به فرصت‌هایی که ICT پیشنهاد می‌کند، پی ببریم و از روشهایی که ICT می‌تواند آموزش و یادگیری ریاضی را تقویت کند آگاه باشیم.

چارچوب تدریس ICT
منابع ICT راه حل اصلی همة مشکلات نمی باشند. در برخی مواقع آنها بهترین راه فهماندن و تثبیت یک مفهوم جدید خواهند بود ولی نه برای همیشه!
ICT باید به دقت طراحی شود تا مسبب پیشرفت خوب دانش‌آموزان بشود. معلمان می‌توانند با طرح سؤال‌های زیر کیفیت استفاده از ICT را بررسی کنند.
 آیا ICT به دانش‌آموزان اجازه می‌دهد تا به بررسی و خلق روش‌هایی بپردازند که به روش‌های دیگر امکان پذیر نیست؟
 آیا ICT اطلاعاتی را در دسترس دانش‌آموزان قرار می‌دهد که از طریق دیگری قابل دسترس نخواهد بود؟
 آیا آنها را برای انتخاب و تفسیر داده‌ها تشویق می‌کند؟
 آیا به آنها در تفکر اجمالی و فهم ایده‌های مهم کمک می‌کند؟

آیا آنها را برای دیدن الگو‌ها و رفتار‌ها بطور دقیق تر توانمند می‌سازد؟
 آیا کیفیت معرفی (Presentation) آنها را افزایش می‌دهد؟
سه جنبه از آموزش و یادگیری ریاضی می‌توانند با استفاده از ICT توسعه یابند:
1-1  پداگوژی ؛
1-2 ریاضیات؛
1-3 سازمان‌دهی ؛
که در ادامه شرح مختصری از هر کدام خواهد آمد.

1-1 پداگوژی
آیا استفاده از  ICT در آموزش کارامدترِ حقایق ریاضی، مهارت‌ها و مفاهیم آن، به ما کمک خواهد کرد؟ آیا استفاده از ICT در افزایش معلوماتِ ریاضی دانش‌آموزان، ایجاد فرصت برای تمرین و تقویت برخی مهارت‌های ریاضی یا توسعة فهم ریاضی شان، به آنها کمک خواهد کرد؟
تصمیم گیری دربارة اینکه چه وقت و چگونه باید از ICT برای کمک به تدریس حقایق ریاضی، مهارت‌ها یا مفاهیم استفاده شود یا نشود، باید بر پایة اثر بخشی هدف‌های درس باشد. استفاده از ICT باید به معلمان و دانش‌آموزان اجازه دهد تا بعضی از چیزها را که بدون آن مشکل هستند، را انجام دهند و یا به آنها اجازه دهد تا برخی چیزها را به طور مؤثر و کارآمد بیاموزند.
در سال 1995 شورای ملی برای تکنولوژی آموزشی اثرِ ریاضیات و  IT را منتشر کرد که در آن شش راه اصلی ای که ICT می‌تواند فرصت‌هایی را برای یادگیری ریاضی دانش‌آموزان ایجاد کند، لیست شده است. این شش موقعیت اصلی  عبارتند از:
 یادگیری از طریق بازخورد
ماشین حساب یا کامپیوتر می‌تواند بازخورد سریع تر و واقعی تری که بی طرفانه و منصفانه است، را تولید کند. قابلیت تغییر چیزی به سادگی، دانش‌آموزان را تشویق می‌کند تا حدسیه‌‌سازی کنند و سپس آن را آزمایش کرده و در نهایت ایده‌هایشان را جرح و تعدیل نمایند.

مشاهدة الگوها
وقتی که دانش‌آموزان مثال‌های بسیاری را به سرعت مشاهده کردند، آنها الگوهایی را که کار می‌کنند و الگو‌هایی را که از کار می‌افتند، مشاهده می‌نمایند. این کار، آنها را قادر می‌سازد تا آنچه را که اتفاق افتاده است، تشریح کنند. دانش‌آموزان می‌آموزند که تعمیم بدهند و درستی آنها را تصدیق کنند.

دیدن روابط
کامپیوتر قادر است فرمول، جدول اعداد و اشکال را به سرعت با هم ربط دهد. تغییر یکی از بازنمایی‌ها و مشاهدة تغییرات در سایر جاها، به دانش‌آموزان در فهم روابط بین آنها کمک می‌کند.
با یک صفحه گسترده یک فرمول جبری می‌تواند برای تولید جدولی از اعداد، و سپس رسم شکل به کار رود. کار‌کردن با یک وسیله که دانش‌آموزان را قادر می‌سازد تا به راحتی بین بازنمایی‌های مختلف (ارتباط جبر با جدول اعداد) ارتباط برقرار کنند، توسعة مفهومی را در آنها افزایش می‌دهد.

کاربا تصاویر پویا
دانش‌آموزان می‌توانند از کامپیوترها برای به کارگیری نمودار‌های پویا استفاده کنند. این، آنها را برای تجسم‌کردن هندسه به عنوان اینکه آنها تصویر ذهنی شان را تولید کرده‌اند، کمک می‌کند.
از شکل درآوردن یک شکل بوسیلة ساختن هندسی بسیاری از مثال‌ها و ارتباط پویا بین آنها، حدس‌ها را قادر به تدوین فرمول و آزمایش آنها می‌کند. تبدیل هندسی به حرکت‌ها مربوط می‌شود و بنابراین برای کار‌کردن با نرم‌افزار‌های هندسی که پویا هستند مفید خواهد بود. این کار، دانش‌آموز را قادر می‌سازد تا یک شیء را روی صفحه نمایش بوسیلة ماوس بکشد و بازتاب آن و سایر انتقال‌ها و حرکت‌های همزمان را ببیند. طبیعت پویای نرم‌افزار همچنین تصویرهای ذهنی و سایر ایده‌های هندسی را تحریک می‌کند.

توصیف داده‌ها
کامپیوترها دانش‌آموزان را قادر می‌سازند تا با داده‌های واقعی، که می‌تواند در روش‌های مختلفی ارایه شوند، کار کنند.

تدریس به کامپیوتر
الگوریتم مجموعه‌ای از دستورالعمل‌ها است. مردم اغلب از الگوریتم‌های ریاضی استفاده می‌کنند، مانند روش کاغذ و مدادی برای جمع‌کردن اعداد بزرگ، ولی الگوریتم تقسیم کمتر عمومی است. وقتی که دانش‌آموزان یک الگوریتم (مجموعه‌ای از دستور العمل‌ها) را برای دستیابی کامپیوتر به یک نتیجة ویژه طراحی می‌کنند، آنها مجبور می‌شوند تا دستورات شان را بدون ابهام و با ترتیب درست بیان کنند. وقتی که آنها ایده‌هایشان را تصفیه می‌کنند، این کار فکر آنها را صریح می‌سازد.
پاپرت در طوفان‌های ذهنی تأکید می‌کند که درک عمیق برنامه نویسی، به ویژه درک تصورات مربوط به فروپاشی پیاپی به منزله حالتی از تحلیل و عیب زدایی راه حل‌های آزمایشی، به فواید چشمگیر آموزشی در بسیاری از عرصه‌های گفتمان منجر می‌شود که از جمله آن‌ها، فوایدی هستند که به خودی خود ارتباطی با فناوری اطلاعات و رایانه ندارند.
با تغییر شکل امور انتزاعی به تجسم‌های ملموس و عینی از طریق برنامه نویسی، دانشجویان «با استفاده از مواد برگرفته از فرهنگ پیرامون خود، ساختارهای فکری خاص خود را می‌سازند» (ص31-32) (قاسمی 1381). به گفتة نایلند (1994)، به نقل از سیمور پاپرت (1990)، « کودکان کامپیوتر را برنامه‌ریزی می‌کنند و در تعلیم دادن به کامپیوتر که چگونه فکر کند، به کاوش دربارة این که خودشان چگونه فکر می‌کنند دست می‌زنند.» (ص40)

1-2 ریاضی
آیا استفاده از ICT به دانش‌آموزان در محاسبة نتایج، تولید جدول‌های مرتبط و ترسیم نمودارها یا در حل مسایل ریاضی کمک خواهد کرد؟
دانش‌آموزان می‌توانند از ICT به عنوان وسیله‌ای برای انجام دادنِ محاسباتشان، ترسیم نمودارهایشان و کمک به حل مسأله‌هایشان استفاده کنند. بدیهی ترین مثالِ کاربرد ICT به این صورت است که دانش‌آموزان از ماشین حساب برای انجام محاسبات عددی پیچیده استفاده می‌کنند. با این وجود ممکن است دانش‌آموزان از یک صفحه گسترده، سیستم جبری کامپیوتری یا ماشین حساب گرافیکی برای حل مسأله بوسیلة آزمایش و تصحیح یا تکرار، استفاده کنند. احتمال دارد که آنها برای حل یک معادلة گرافیکی، از یک ماشین حساب گرافیکی یا رسام گرافیکی بیشتر از ماشین حساب جبری استفاده کنند. دانش‌آموزان می‌توانند از حالت‌های آماری ماشین حساب‌های گرافیکی برای انجامِ تحلیل‌های آماری داده‌هایی که جمع‌آوری کرده‌اند، استفاده نمایند. ساختن یک شکل در یک بستة هندسی پویا می‌تواند به دانش‌آموزان در فهمیدن، حل‌کردن و سپس اثبات مسایل هندسی کمک کند. زمانی که دانش‌آموزان از ICT به عنوان وسیله‌ای برای یافتن چیزها، حل مسایل یا کمک به آنها در درک آنچه که اتفاق افتاده، استفاده می‌کنند؛ مهارتشان در به کارگیری ریاضی، توسعه می‌یابد.
بوضوح ICT می‌تواند به عنوان وسیله‌ای کارآمد و نیرو‌مند باشد، اما اگر دانش‌آموزان بخواهند از امکانات به نحو سازنده و کاآمدتری استفاده کنند، نیاز به آموزشِ مهارت‌های فنی دارند. بطور مثال برای استفادة کارآمد از ماشین حساب، دانش‌آموزان باید موارد زیر را یاد بگیرند:
 چگونگی انتخاب شکل‌های مناسب برای محاسبات زمینه؛
 چگونگی وارد‌کردن اعداد و تفسیر نمایش ارایه شده وقتی که اعداد نشان دهندة پول، اندازه‌های متری، واحد زمان یا کسر‌ها، هستند.
 ترتیبِ انجام عملیات محاسباتی در زمانی که چند عملگر داریم؛
 چگونه از امکاناتی مانند حافظه، براکت، کلید جذر و کعب، کلید تغییر علامت، کلید کسر و غیره استفاده کرد.
به همین ترتیب اگر دانش‌آموزان برای حل مسایل ریاضی از نرم‌افزار صفحه گسترده، بستة رسم شکل، سیستم جبری کامپیوتری، بستة هندسی پویا یا ماشین حساب گرافیکی به طور مؤثری کمک می‌گیرند؛ لازم است که دانش‌آموزان با امکانات و تسهیلاتِ این نرم‌افزارها آشنا شوند. بنابراین درسهای ریاضی می‌توانند به دانش‌آموزان کمک کنند تا مهارت‌های ICT آنها با ایجاد زمینه‌های جدید در به کارگیری این مهارت‌ها، توسعه یابد.
دانش‌آموزان نیاز دارند تا یاد بگیرند ابزار ICT مناسب را برای کمک به خودشان در حل مسایل ریاضی انتخاب کنند. همچنین لازم است آنها بیاموزند، چه وقت استفاده از ICT مناسب نمی باشد. برای مثال؛ این مهم است که آنها یادبگیرند از ICT برای انجام کارهای روتین که به روش ذهنی و یا با کاغذ وقلم، با کارایی بیشتری انجام می‌شود، استفاده نکنند. مثال‌هایی از این قبیل که بهتر است از ICT در آموزش آنها استفاده نشود، عبارتند از:
 استفاده از ماشین حساب یا صفحه گسترده برای محاسبات سرراست ؛
 استفاده از ماشین حساب یا صفحه گسترده برای یک سری از محاسبات که مهارت‌های ذهنی و نوشتاری مربوط به آنها در جای دیگری رشد نیافته باشند.
 استفاده از ماشین حسابِ گرافیکی برای رسم یک شکل زمانی که طرح ساده‌ای دارد.

1-3 سازمان‌دهی
آیا استفاده از ICT به دانش‌آموزان در سازمان‌دهی و معرفی کارهایشان و تبادل یافته‌هایشان کمک خواهد کرد؟
ICT وسیله‌ای را فراهم می‌کند که دانش‌آموزان می‌توانند به وسیلة آن چگونگی سازمان‌دهی و ارایة کارهایشان را انتخاب کنند. دانش‌آموزان ممکن است یک برنامة واژه پرداز - را که از آن برای تهیة یک خبرنامة تحقیقی ریاضی استفاده کرده‌اند- انتخاب نمایند. آنها ممکن است تصمیم بگیرند از صفحه گسترده برای سازمان‌دهی نتایج تحقیقات آماری استفاده کنند، و ممکن است نمایش گرافیکی داده‌ها، که مناسب ترین است، را انتخاب کنند. در واقع، این جنبه از ICT به دانش‌آموزان این فرصت را می‌دهد که برای نمایش مسایل و راه حل‌های ریاضی آنها از روش‌های مختلف (بازنمایی  یک مسله در صفحه گسترده به صورت داده‌ها، بازنمایی تصویری در رسم شکل، بازنمایی جبری و...) استفاده کنند.
بطور مثال، امکان دارد برخی از دانش‌آموزان برای حل معادلة درجة دومِ X^2+X=20 از جدول مقادیرِ صفحه گسترده یا ماشین حساب گرافیکی استفاده کنند. دانش‌آموزان دیگرممکن است راه حل‌های گرافیکی را از طریق رسامِ شکل و یا ماشین حساب گرافیکی انتخاب نمایند. عده‌ای دیگر از دانش‌آموزان احتمالاً راه حل‌های جبری را انتخاب می‌کنند.
ICT می‌تواند از طریق مقایسه و بحث پیرامون روشهای مختلفی که دانش‌آموزان برای حل مسأله به کار برده‌اند، بحث در ریاضی را تقویت کند. این موضوع به توسعة مهارت‌های ارتباطی- نوشتاری آنها کمک خواهد کرد.

2. کدام بخش‌های ریاضی می‌توانند مفید باشند؟
پر واضح است که ICT، می‌تواند به صورت مفیدی در بیشتر مباحث ریاضی استفاده شود. اما در موارد زیر، ریاضی به طور ویژه‌ای از فرصت‌هایی که ICT فراهم می‌آورد، استفاده می‌کند.
 ریاضیات کاربردی و حل مسأله؛
 ارزش مکانی، مرتب‌‌سازی و رند کردن؛
 معادله‌ها، فرمول‌ها و تساوی‌ها؛
 دنباله‌ها، توابع و نمودارها؛
 استدلال هندسی: خط، زاویه و اشکال؛
 تبدیل‌ها؛
 مختصات؛
 ساختار و مکان‌های هندسی؛
 جمع‌آوری و ثبت داده‌ها؛

3. از کدام ICT باید استفاده کرد؟
نرم‌افزار‌های زیادی برای آموزش و یادگیری ریاضی وجود دارد، که تعدادی از آنها عبارتند از:

نرم‌افزارهای عمومی: صفحه گسترده (پایگاه داده‌ها)؛
نرم‌افزارهای صفحه گسترده به کاربران این امکان را می‌دهد که دامنة گسترده‌ای از محاسبات را بر روی لیست‌ها و آرایه‌هایی از اعداد انجام دهند. اطلاعات موجود در صفحه گسترده را نمی توان در نمودارها و چارت‌های مختلف نشان داد. همچنین کاربرد‌های بسیاری برای صفحه گسترده وجود دارد که عبارتند از:
- تعمیم و توصیف الگوها و دنباله‌های عددی؛
- حل مسایل عددی و بهینه‌سازی؛
- تجزیه و تحلیل داده‌ها و آمار؛
- ...
 نرم‌افزار‌های ویژة ریاضی: رسام شکل، نرم‌افزار هندسی پویا، سیستم جبری کامپیوتری؛
رسام‌های اشکال به کاربران این اجازه را می‌دهد تا بتوانند نمودار توابع ریاضی را ترسیم و تشریح کنند. بسیاری از رسام‌های اشکال، دارای ویژگی‌هایی هستند که به کاربران اجازه می‌دهند تا تبدیل‌های هندسی را در توابع، نمودارها و شکل‌های نقطه‌ای انجام دهند.
 زبان‌های برنامه‌سازی: لوگو(بیسیک)؛
لوگو یک زبان برنامه نویسی کامپیوتری است که به راحتی برای دانش‌آموزان قابل دسترس می‌باشد. برنامه نویس در لوگو از واژه‌های بسیار سادة روزمره استفاده می‌کند. لوگو می‌تواند برای انجامِ کارهای جدید بوسیلة رویه‌های جدید تعریف شود. مهمترین ویژگی لوگو، میکرو وولد لاک پشت هندسی می‌باشد که دانش‌آموزان را قادر می‌سازد تا زاویه، شکل و احجام را بررسی کنند. به این ترتیب که در برنامة لوگو یک لاک پشت به عنوان مکان نما روی صفحه نمایش ظاهر می‌شود و می‌توان به وسیلة دنباله‌ای از دستورات ساده به این لاک پشت فرمان داد که در صفحه نمایش حرکت کند و لاک پشت همچنان که حرکت می‌کند اثری از خود بر جا می‌گذارد و با استفاده از این اثر می‌توان شکل‌هایی را ساخت. از لوگو می‌توان به روش‌های مختلف استفاده کرد که برخی از آنها در زیر آمده است.
- بررسی و یادگیری خصوصیات اشکال؛
- تولید الگوها و دنباله‌های عددی؛
- توسعة مفهوم تابع؛
- توسعة مهارت‌های برنامه‌‌سازی سا

الگوهای فعال تدریس

الگوهای فعال تدریس

نقد و بررسی انواع روش تدریس ریاضی

بحث در روش تدریس ریاضی به زمان ما منحصر نمی شود. از هنگامی که تدریس ریاضی مطرح بوده است، روش تدریس آن نیز مورد بحث و مطالعه بوده است. با مطالعه تاریخ آموزش و پرورش، ملاحظه می کنیم که همواره دو نوع آموزش درمقابل هم قرار داشت هاند. دسته اول، روشهای تدریس سنتی، که در گذشته های دور به کار می رفته اند و دسته دوم، روشهای مبتنی بر یافته های روانشناسی است که به طور عمده از قرن بیستم به بعد تکوین یافته اند و به روشهای جدید شهرت دارند. از میان روشهای سنتی می توان از روش سقراطی و روش مکتبخانه ای در ایران و دیگر کشورهای اسلامی نام برد. از روش های جدید در تدریس ریاضی می توان به روش توضیحی، روش سخنرانی، روش اکتشافی، روش حل مساله، روش بحث در کلاس، روش پرسش و پاسخ، روش فعال، روش قیاسی و استقرایی آموزش مهارتهای فراشناختی نام برد. در این فصل انواع روشهای تدریس ریاضی که به پنج دسته، روش کلامی، روش مکاشفه ای، روش مفهومی، روش فعال و روش الگوریتمی مورد بررسی و نقد قرار می گیرند. در پایان این فصل از خوانندگان انتظار می رود که بتواند با تکیه بر انواع روشهای تدریس ذکر شده، در یک یا چند موضوع درسی، تدریسی را طراحی نمایند و در صورت امکان آن را اجرا نمایند تا به نقاط قوت و ضعف خود آشنا شوند و نقاط قوت خود را در تدریس های بعدی، پر رنگ تر نموده و برضعف های خود چیره شوند.

۲-۱ روش کلامی (زبانی)

در این روش معلم به اصطلاح متکلم وحده است. همه چیز را بیان می کند، قواعد را بررسی می کند، نتیجه گیری می کند و طراح مساله است. خلاصه معلم همه کاره و دانش آموز هیچ کاره است. معلم مساله گو و شاگرد مساله حل کن، معلم متکلم و شاگرد مستمع است. این نکته جالب است که طرفداران این روش دو گروه مخالفند، عده ای موافق روش زبان ماشینی و عده ای موافق روش زبانی استدلالی هستند.

الف) روش تدریس زبان ماشینی (قاعده گویی):

این گروه اعتقاد دارند که دانستن قواعد و فنون محاسبه برای دانش آموزان کافی است. اگر دانش آموز ادامه تحصیل دهد آنگاه برایش استدلال خواهد شد و مطالب را خواهد فهمید و در صورتی که ادامه ندهد این محاسبات هست که به دردش می خورد و چه کار دارد که چرا فلان مطلب چنین است و چنان نیست. حسن این روش در آن است که تدریس به سرعت انجام می شود ولی معایب آن عبارتند از:

۱- دانش آموز قواعدی را بدون آنکه آنها را درک کرده و منطقی بودن آنها را پذیرفته باشد، آنها را حفظ می کند و به همین سرعت هم فراموش می کند.

۲- نسبت به مطالبی که می خواند احساس بیگانگی می کند و نسبت به آنچه یاد گرفته است علاقه ای نشان نمی دهد.

۳- این آموزش پاسخگوی نیازهای طبیعی دانش آموز به کنجکاوی و حقیقت جویی نمی باشد.

۴- طرفداران این روش جالب پرورش را به طور کلی نادیده می گیرند.

ب) روش تدریس زبان استدلالی:

طرفداران این شیوه برخلاف گروه قبل تدریس ریاضی را توام با استدلال قبول دارند. آنها معتقدند که ریاضی با منطق آمیخته است. پس باید با استدلال و برهان به امر تدریس ریاضی همت گماشت. ابتدا باید تعریف و اصول گفته شود و به دنبال آن می توان نتیجه گیری ها را با استفاده از قوانین منطق آغاز نمود. حسن این روش آن است که با طبیعت ریاضی سازگاری دارد ولی معایب آن عبارتند از:

۱- از روش استدلالی در هر سنی نمی توان استفاده نمود.

۲- قدرت ابتکار رشد نمی کند و دانش آموز جستجوگر نخواهد شد.

۳- معلم و شاگرد به تدریج از جهان واقعی دور می شوند.

نقد و خلاصه روش های کلامی (زبانی):

روشهای زبانی همان طور که از نامشان پیداست، بر زبان و کلام معلم تکیه دارد. در این روشها، معلم و مدرس متکلم وحده است و کمتر مجال سئوال کردن، توضیح دادن، درک و فهم واقعی به دانش آموزان داده می شود.

تنها مزیت ظاهری روشهای زبانی این است که تصور می شود که دانش آموزان به ظاهر در درس پیش می روند. این باور درست نیست، زیرا در دراز مدت، اثرات نادرستی در پرورش فکر و استعداد دانش آموزان می گذارد و در سنین بالاتر اگر مطالب ریاضی را دیر می فهمند، علت عمده اش این است که قبلا در آموزش مطالب بنیادی به آنها عجله کرده ایم. به عبارت دیگر، در مراحل بعدی آموزش، دانش آموزان ناچارند از معلوماتی استفاده کنند که قبلاً آنها را خوب فرا نگرفته و به درستی نفهمیده اند.

۲-۲ روش اکتشافی

یادگیری اکتشافی فرایندی است که دانش آموز به طور مستقل و با راهنمایی معلم یا بدون آن، اصل یا قانونی را کشف نموده و مساله ای را حل می کند. ویژگی عمده روش اکتشافی، درجه و میزان راهنمایی شدن شاگرد (به وسیله معلم) برای اکتشاف است که این ویژگی به عواملی مانند استعداد دانش، مهارت شاگرد و درجه دشواری خود مساله بستگی دارد و می تواند در چهار محدوده قرار گیرد.

۱- معلم می تواند اصول و راه حل مساله را برای شاگرد توضیح دهد، اما پاسخ مساله را نگوید (در اینجا معلم از روش توضیحی بهره می گیرد)؛ این نوع راهنمایی برای دانش آموزان ضعیف ضرورت می یابد.

۲- معلم می تواند فقط اصولی را که برای کشف آن به کار می رود به شاگرد توضیح دهد، اما راه حل و جواب مساله را در اختیار او قرار ندهد.

۳- معلم می تواند اصول را ارائه ندهد؛ اما راه حل را بگوید.

۴- معلم می تواند اصول و راه حل را به شاگرد نگوید؛ که آن را یادگیری راهنمایی نشده می نامیم.

از آن جایی که این روش بر پاسخ مداوم دانش آموزان به سئوالات مختلف در کلاس درس تا حدودی متکی است، لذا تدریس به وسیله آن مشکل است و لذا معلم نیاز به صبر بیشتر و وقت زیادتری دارد و نقش معلم در این روش هدایت نمودن دانش آموزان در ارتباط دادن مطالب جدید با تجارب و محفوظات گذشته نشان می باشد. حدسیات، تخمین ها و آزمایش و خطا، آزمایشهایی هستند که در روش اکتشافی برای یافتن ایده های جدید و ارتباط آنها با مفاهیم گذشته به کار می روند.

معلم با طرح سئوالات مناسب می تواند جواب های نادرست دانش آموزان را به سمت جواب های درست هدایت نماید. معلم باید کلاس را در جهت صحیح و مسیر معینی حفظ نماید به طوری که از حالت کاوش و پویایی شاگردان کاسته نشود. در این روش، معلم دانش آموزان را وادار به فکر کردن می کند و آنها را برای رسیدن به پاسخ درست تشویق می نماید لذا دانش آموز در فرایند یادگیری سهیم است.

تکنیک های تدریس به روش مکاشفه ای:

۱- معلم، سئوالی را برای بررسی کردن به دانش آموزان ارائه می نماید. معلم باید اطمینان حاصل کند که دانش آموزان مساله را فهیمده اند و بدانند که دنبال چه چیزی می گردند و چگونه باید این راه را ادامه دهند و چگونه مسیر درست را انتخاب نمایند.

۲- معلم فکر کردن را در دانش آموزان با گفتگو و پرسش برانیگزاند و از آنها بخواهد با ارائه مثال ها و نامثال ها، مساله را دنبال کنند.

۳- معلم فعالیت هایی طرح ریزی نماید که الگوهای جدید را ایجاد نماید.

۴- معلم از مدل های مختلف آموزشی و ابزار کمک آموزشی باری تدریس بهره برد.

۵- در ارزشیابی نیز از مسایل استفاده نماید که توانایی آنها را در کشف مقاصد جدید بسنجد.

۶- از نتیجه گیری سریع براساس یک یا دو نمونه به عنوان شاهد خوددداری کنید.

اکتشاف یک مطلب در کلاس درس باید روال منطقی داشته باشد و تا حدودی نمایانگر یک مکاشفه واقعی با محیطی منطقی باشد.

۷- دانش آموزان را به طور مرتب در جریان پیشرفت هایشان قرار دهید.

محاسن روش اکتشافی از دیدگاه برونر:

۱- یادگیری اکتشافی، توانایی ذهنی دانش آموزان را تقویت می کند.

۲- یادگیری اکتشافی، انگیزه درونی دانش آموز را افزایش می دهد، زیرا در این یادگیری شاگرد به طور خودجوش فعالیت های آموختن را دنبال می کند و پاداشی هم که می گیرد، از فعالیت های خود اوست.

۳- یادگیری اکتشافی، فنون اکتشاف را به شاگرد می آموزد و او را خلاق و کاوشگر بار می آورد.

۴- یادگیری اکتشافی موجب دوام بهتر آموخته ها می شود. زیرا دانش آموز خود آموخته هایش را سازمان می دهد و می داند که چه موقع و چگونه آنها را به دست آورد.

۵- از آنجا که در این روش از مشاهده اشکال، اشیا، و تصاویر برای تدریس استفاده می شود. درک حقایق و روابط را تا حدی برای دانش آموزان آسان می کند.

معایب روش اکتشافی:

۱- قدرت استدلال و ارتباط بین مفاهیم کم می شود.

۲- این روش بسیار وقت گیر است.

۳- طرفداران این روش اهمیت فوق العاده ای به احساس و ادراک می دهند اما باید توجه داشت که بعضی از مفاهیم ریاضی (مانند اعداد منفی) را نمی توان از راه حواس درک نمود.

۴- مکاشفه در بدو امر خوب است ولی نتیجه اساسی نه از راه مکاشفه بلکه از کوششی که در نباله این رغبت برای توضیح و تنظیم روابط صورت می گیرد، حاصل می شود. به عنوان مثال نیوتن با مشاهده سقوط سیب از درخت، وجود رابطه ای بین زمین و اجسام پیرامون آن را احساس کرد (مکاشفه) ولی مشاهدات مذکور به تنهایی ارزش چندانی نداشت و اگر به همین جا خاتمه یافته بود، هیچ نتیجه عملی از آن به دست نمی آمد.

۵- اگر هر تصوری را به کمک شکل و به طور یکنواخت به دانش آموزان عرضه کنیم، بیم آن می رود که ذهن آنها، به جای رابطه مورد نظر، توجه شان به شکل یا تصویر جلب شود و به کلی از حقیقی که در نظر داریم بی اطلاع بماند.

۲-۳- روش مفهومی

در این روش بیشتر تاکید بر مفاهیم ریاضی است و تکیه کمتری بر مهارت ها می شود. ما معتقدیم که تکیه بیش از حد بر یکی، ما را از دیگری دور می سازد لذا یاید به طور متعادل بین مفاهیم و استفاده از روش ها تاکید نمود. ذکر این نکته ضروری است که تا هنگامی که مفاهیم در ذهن دانش آموزان شکل نگرفته است، نباید به سراغ تکنیک ها و مهارت ها رفت. تفاوت روش مفهومی با روش الگوریتمی نیز از همین جا ناشی می شود که در روش مفهومی تکیه بر مفاهیم است و در روش الگوریتمی تکیه بر مهارت ها و تکنیک هاست.

۲-۴- روش فعال

در این روش، هدف این است که دانش آموزان در فرایند آموزش و پرجنب و جوش باشند. البته، هیچ روشی به طور محض غیرفعال نیست. برای مثال، در روش سخنرانی، معلم فعال و دانش آموزان ظاهراً غیرفعالند اما در حقیقت، به طور ذهنی فعالند؛ زیرا به سخنان معلم گوش می کنند و درباره مطالب آن می اندیشند و یادداشت برمی دارند.

برخلاف روش های منفعل که « معلم محور» است روش فعالی « دانش آموز محور» است. دانش آموز درامر یادگیری شرکت فعال دارد، با مسایل مواجه می شود، راجع به حل آنها فکر می کند و با راهنمایی معلم به حل آنها می پردازد. در اثر کارهای آموزشی خودش، به مفاهیم پی می برد. در این صورت است که دانش آموز به حل مساله ها علاقه مند می گردد. موفقیت این روش، به مهارت معلم و تسلط او به درس همبستگی دارد.

در آموزش به روش فعال هر دانش آموز مطالب را به سرعت خود یاد می گیرد و فرصت دارد که به مطالب فکر کند. دانش آموز از طریق حل مساله، طی فرایندی به تدریج به مفاهیم پی می برد و به جای آنکه شاهد را رفتن معلم باشد خود قدم به قدم راه رفتن را تمرین می کند و می آموزد. با پی بردن به توانایی های خود، در او حس اعتماد به نفس تقویت می شود چون در به دست آوردن نتیجه ها و کشف قواعد سهیم است و نسبت به مطالب احساس علاقه و مالکیت می کند و میل به دانش افزایی در او باور می شود، در جریان کار فعال، دانش آموز رشد می کند و تفکر منطقی را تقویت می کند. در این روش وظایف معلم عبارتست از توجه به کار یکایک دانش آموزان و دادن راهنمایی در موارد لازم، علاقه مند کردن آنها به کار و فعالیت درسی، شناخت دانش آموزان و پی بردن به توانایی آنها و از همه مهمتر قدم به قدم پیش بردن دانش آموز برای یادگیری یک مطلب درسی جدید طی مراحل مختلف آن. وظیفه دانش آموز هم فهالیت و کارآموزی و کاوشگری در حد توانایی خود می باشد.

سه اصل آموزش به روش فعال:

معلم باید بداند که روند یادگیری چگونه جریان دارد و راه های ثمربخش را انتخاب کند. سه اصل برای تدریس ثمربخش وجود دارد که عبارتند از:

۱- اصل یادگیری فعال (کشف موضوع توسط خود دانش آموز ضمن انجام فعالیت های مناسب): البته آنچه در کلاس مورد توجه ملعم است اهمیت دارد، ولی هزار بار مهم تر از آن، چیزی است که مورد توجه دانش آموز است. اندیش ها باید از ذهن خود دانش آموز بیرون بیاید. در این میان نقش معلم را می توان با نقش ماما و قابله مقایسه کرد.

این، نصیحت رسمی سقراط است. گفتگوی سقراطی، بهترین شکل آموزش با بهترین نتیجه است. درست است که میزان وفتی که، در مدرسه، برای هر ماده درسی گذاشته اند، محدود است که با این روش همه درس ها را نمی توان ارائه نمود ولی با همه این، اصل قدیمی ما به قوت خود باقی است که می گوید: «با همین امکان هایی که دارید، حداکثر تلاش خود را به کار برید، تا خود دانش آموزان، در جریان کشف، شرکت داشته باشند».

اگر دانش آموز در تنظیم صورت مساله هایی که باید حل کند، شرکت داشته باشد، خیلی فعالتر خواهد کوشید. معلم باید شرایطی را فراهم آورد که دانش آموز بتواند مساله های خودش را طرح کند چون باعث خواهد شد که نیروی خلاقیت او شکوفا شود.

۲- اصل بهترین انگیزه: معلم باید خودش را واسطه ای بداند که می خواهد مقداری از ریاضیاتی را که می داند، در اختیار دانش آموزان قرار دهد. اگر واسطه ای در عرصه جنس خود با مشکلی روبرو شود و کالایش روی دستش بماند یا خریداران از خرید کالای او سرباز زنند، نباید تقصیر را به گردن خریداران بیندازد. به خاطر داشته باشید که، معمولاً حق با خریدار است. دانش آموزی که از یادگرفتن ریاضیات سرباز می زند، ممکن است حق داشته باشد. هیچ دلیلی وجود ندارد که شاگرد شما، تنبل یا کم هوش باشد. بلکه خیلی ساده، ممکن است به چیز دیگری علاقه مند باشد. آخر، دنیای ما پر از چیزهای جالب است. وظیفه شما، به عنوان یک معلم و به عنوان کسی که می خواهد آگاهی دیگران را بالا ببرد، این است که دانش آموز را به ریاضیات علاقه مند کنید. بنابراین، معلم باید تمامی توجه خود را در انتخاب مساله و تنظیم آن به کار برد و آن را به بهترین صورت ممکن، به دانش آموزان عرصه کند. مساله باید نه تنها از موضع معلم، بلکه از موضع شاگرد هم، جالب باشد. چه بهتر که بشود درس را، در رابطه با تجربه روزانه شاگردان طرح کرد و آن را به صورت معما درآورد. مساله را می توان با موضوعی آغاز کرد که برای دانش آموزان روشن است و چه بهتر که این موضوع، امکان کاربرد علمی مساله و یا موضوعی مورد علاقه عموم باشد. اگر می خواهیم نیروی خلاقیت دانش آموزان را پرورش دهیم نباید مبنایی در اختیار آنها بگذاریم تا مطمئن شوند تلاش آنها بیهوده و عبث نیست.

به خصوص، علاقه دانش آموز، بهترین انگیزه او در کار است. ولی، انگیزه های دیگری هم وجود دارد که نباید آنها را از دست داد. از دانش آموز بخواهیم که نتیجه را حدس بزند، ولو بخشی از آن را، دانش آموزی که فرضیه ای را ارائه کند، در واقع خود را به آن وابسته کرده است، حیثیت و احساس او در گرو فرضیه اوست و با بی صبری در انتظار آن است که ببیند حدس او درست است یا نه، او با اشتیاق به سرنوشت مساله و کار کلاس علاقه مند می شود و در آن لحظه ها هیچ چیز دیگری توجه او را به خود جلب نخواهد کرد.

۳- اصل تسلسل مرحله ها: عیب اصلی کتاب های ریاضی دراین است که تقریباً همه مسال های موجود در آنها، از صورت های متعارف و عادی انتخاب شده است. منظور از مساله های عادی، مساله هایی هستند که میدان کاربرد کمتری دارند و تنها به روشن کردن یک قانون خدمت می کنند و تمرین های مناسب برای یک قانون هستند. البته این مثال ها هم مفید و هم لازم هستند ولی دو مرحله مهم آموزش در آنها وجود ندارد: مرحله بررسی و پژوهش و مرحله فراگیری. هدف این دو مرحله این است که مساله مورد بررسی را با شرایط موجود و با آگاهی هایی که قبلا به دست آورده ایم، مربوط می کند. مساله های عادی، این دو منظور را برنمی آورند، زیرا از قبل معلوم است که برای روشن شدن قانون معینی طرح شده اند و اهمیت آنها، تنها در خدمت کردن به همین قانون است. البته، گاهی در این مساله ها، به قانون یا قانون های دیگری هم توجه می شود که در این صورت، مساله های مفیدتری به حساب می آیند. حقیقت این است که باید در کنار مساله های عادی، دست کم گاه به گاه، مساله های عمیق تری هم به دانش آموزان داده شود، مساله هایی که زمینه غنی تری داشته باشد امکان ورود دانش آموزان به کارهای جدی تر علمی را فراهم آورد. وقتی می خواهید چنین مساله هایی را در کلاس مورد بحث قرار دهید از همان ابتدا، یک بررسی و پژوهش مقدماتی به دانش آموزان پیشنهاد کنید. این کار اشتهای آنها را در حل مساله و رسیدن به جواب تحریک می کند. این مطلب را هم فراموش نکنید که مقداری از وقت کلاس را، برای بحث درباره نتیجه ای که به دست آمده است باقی بگذارید. یادگیری توسط سه فاز صورت می پذیرد: فاز اول: دانش آموز حدس و گمان می زند. فاز دوم: آن را به صورت کلمات در می آورد. فاز سوم: برای تثبیت یادگیری تمرین و ممارست انجام دهد.

محاسن روش فعال:

۱- دانش آموز مفاهیم را درک می کند.

۲- خود را در به دست آوردن نتیجه ها سهیم می داند و این در او علاقه ایجاد می کند و به تدریج احساس توانایی می کند که این خود موجب به وجود آمدن حس اعتماد به نفس در دانش آموز می شود.

۳- این آموزش نیاز به کنجکاوی، پویایی و خلاقیت را برآورده می سازد و موجب رشد شخصیت در دانش آموز می شود.

معایب روش فعال:

۱- مدتی صرف خواهد شد تا دانش آموز از طریق حل تمرین های کار در کلاس و پاسخ به سئوال های مناسب مفاهیم را یکی کی بفهمد و به قاعده ها پی ببرد.

۲- هر مفهومی را نمی توان با روش فعال آموزش داد.

۲-۵- روش الگوریتمی:

منظور از روش الگوریتمی، مجموعه دستورالعمل هایی است که انجام آنها منجر به حصول نتایجی برای دانش آموز گردد. تعدادی از الگوریتم های حساب و جبر که در دوره های تحصیلی مورد بحث قرار می گیرند عبارتند از: چهار عمل اصلی روی اعداد صحیح و اعشاری، تناسب، جذریابی، یافتن بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک، نوشتن اعداد به پایه های گوناگون، عملیات روی کسرهای متعارفی، حل معادلات جبری و عملیات جبری روی بردارها در صفحه، در زمینه هندسه نیز به الگوریتم های زیر بر می خوریم مانند: ترسیمات با خط کش، پرگار، گونیا و نقاله مثلا در رسم عمود، نضف کردن پاره خط، ساختن مثلث. هر یک از الگوریتم های ذکر شده مبتنی بر یک یا چند مفهوم ریاضی است. از آن جمله اند مفاهیم: نوشتن اعداد در یک پایه، جذر، نسبت، عدد اول، مجموعه. علاوه بر مفاهیم و الگوریتم ها، رکن دیگر کاربرد الگوریتم ها در حل مسایل است.

معایب روش الگوریتمی:

۱- تاکید بیش از حد بر الگوریتم ها شم عددی دانش آموز را کاهش می دهد. چون که شم عددی ما را از مرتکب شدن اشتباهات فاحش مصون می دارد.

۲- دانش آموز تقریباً در هیچ مساله واقعی نیاز به این الگوریتم ها را ندارد. مثلاً الگوریتم جذر بهتر است از روش آزمون و خطا در دوره راهنمایی تحصیلی تدریس گردد.

۳- معمولاً دلیل درستی این الگوریتم ها مطرح نمی شود.

۴- چون این الگوریتم ها دشوارند و حفظ کردن آنها نیروی فراوانی از دانش آموز می طلبد، محصل به تدریج نسبت به مفهوم اصلی بیگانه می شود.

۵- در حال حاضر که ماشین حسابهای دستی ارزان قیمت عملیات ریاضی را حتی از انسان سریع تر و دقیق تر انجام می دهند لذا ضرورتی بر حفظ همه الگوریتم ها نیست.

چند توصیه برای بهبود روش الگوریتمی:

۱- به جای تاکید بر کسب مهارت در اجرای دقیق دستورالعمل های ریاضی، تاکید بیشتری صرف درک مفاهیم گردد و با قرار دادن وقت کافی در اختیار دانش آموز، به او اجازه آزمایش کردن داده شود. دانش آموزی که وادار شود هر بار با رجوع به مفاهیم اولیه، مسایل قابل فهم خود را حل کند، به تدریج نیاز به دستورالعمل را احساس می کند و ممکن است خود به سوی الگوریتم سازی سوق داده شود.

۲- مسایل حرفی متنوع تر، جذاب تر، واقعی تر و بعضاً دشواری تری از آنچه امروزه معمول است در اختیار دانش آموزان قرار گیرد. درک و فهم مفاهیم ریاضی در سطح مدرسه، در میدان به کارگیری آنها در مسایل ملموس و قابل فهم تحقق می یابد.

۳- تقویت شم عددی دانش آموز که در حال حاضر بهایی به آن داده نمی شود، به طور جدی مطرح گردد. دانش آموز باید یاد بگیرد که حدود نتیجه یک محاسبه را قبل از انجام دقیق آن حدس بزند و با بتواند از عهده تخمین هایی برآید.

برگرفته از کتاب آموزش ریاضی و حل مساله تالیف مهدی رحمانی

اعداد تاکسی

اعداد تاکسی

زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که به وسیله آن به بیمارستان آمده، عدد بی ربط و بی خاصیت ۱۷۲۹ بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا ۱۷۲۹ بسیار جالب توجه است .

۱۷۲۹ عددی مرکب است.

ولی دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر کدام عدد اول هستند.

جمع چهار رقم تشکیل دهنده آن میشود ۱۹ که اول است.

جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری میشود ۸۱۱ که باز هم عدد اول است

دو عدد ابتدایی(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ میشود که باز هم عدد اول است.

دو عدد اولیه اگر از هم دیگر کسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته میشود که باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است .عدد اول؛عددی است که فقط بر یک و خودش تقسیم میشودبنحوی که نتیجه تقسیم عددی کسری نباشد(خارج تقسیم نداشته باشد)مجموع عددی اعداد تشکیل دهنده ۱۷۲۹ یا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛

عکس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتیجه برابر ۱۷۲۹ میشود.

این هم یکی دیگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است که در هر عددی دیده نمیشود.

عدد ۱۷۲۹ اولین عددی است که می توان آنرا به دو طریق به صورت حاصلجمع

مکعبهای دو عدد مثبت نوشت :

۱۲ به توان ۳ به علاوه ۱ به توان ۳ و ۱۰ به توان ۳ به علاوه ۹ به توان ۳ هردو برابر

۱۷۲۹ می باشند .(اولین مطلب موجود در رابطه با این خاصیت ۱۷۲۹ به کارهای

بسی ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم باز می گردد.) حال اگر کمی مانند

ریاضیدانها عمل کنید باید به دنبال کوچکترین عددی بگردید که به سه طریق مختلف حاصل جمع مکعبهای دو عدد مثبت است این عدد۸۷۵۳۹۳۱۹ می باشد که در سال ۱۹۵۷توسط لیچ کشف شد: ۴۱۴ به توان ۳ + ۲۵۵ به توان ۳ و ۴۲۳ به

توان ۳+ ۲۲۸ به توان ۳ و ۴۳۶ به توان ۳ + ۱۶۷ به توان ۳ هر سه جوابشان برابر ۸۷۵۳۹۳۱۹ است .

امروزه ریاضیدانان عددی را که به n طریق مختلف به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت باشد ،n ــامین عدد تاکسی می نامند و آنرا با Taxicab نمایش می دهند.جالبتر از همه اینکه ،هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعیn ناکوچکتر از ۱ ،n ــامین عدد تاکسی وجود دارد !

هرچند، چهارمین تا هشتمین اعداد تاکسی نیز کشف شده اند ولی تلاشها برای یافتن نهمین عدد تاکسی تاکنون نا کام مانده است . متاسفانه اطلاعات زیادی درباره اعداد تاکسی موجود نیست . در ضمن میتوان مسئله را از راههای دیگر نیز گسترش داد . مثلا همانگونه که هاردی در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسید و او قادر به پاسخگویی نبود ، این پرسش را مطرح کنید: کوچکترین عددی که به دوطریق

حاصلجمع توانهای چهارم دو عدد مثبت می باشد ،کدام است؟ این عدد توسط اویلر یافت شده است :۶۳۵۳۱۸۶۵۷ حاصلجمع توان چهارم ۵۹ و ۱۵۸ همچنین توانهای چهارم ۱۳۳ و ۱۳۴ می باشد.

۴۰ نکته مهم برای مطالعه بهتر،

۴۰ نکته مهم برای مطالعه بهتر،

راهنمای روش مطالعه صحیح و اصولی و روشهای مرور مطالب خوانده شده
مقدمه
آیا تاکنون به این موضوع فکر کرده‌اید که هنگام مطالعه از چه روشی استفاده می‌کنید؟ یک روش مطالعه صحیح و اصولی می‌تواند بسیاری از مشکلات تحصیلی را از بین ببرد. بررسیهای بعمل آمده گویای آن است که افرادی که در زمینه تحصیل موفق بوده‌اند، روش صحیحی برای مطالعه داشتند. یادگیری (learning) مسئله‌ای است که در سراسر طول زندگی انسان بویژه در دوران دانش آموزی و دانشجویی اهمیت زیادی دارد. چرا که دانش آموزان و دانشجویان همیشه در معرض امتحان و آزمون قرار دارند و موفقیت در آن آرزوی بزرگشان است.
شاید به افرادی برخورده باشید که می‌گویند: همه کتابها و جزوه‌ها را می‌خوانم، اما موقع امتحان آنها را فراموش می‌کنم، یا من استعداد درس خواندن را ندارم، چون با اینکه همه مطالب را می‌خوانم اما همیشه نمراتم پایین است و یا ... . بسیاری از اینگونه مشکلات به نداشتن یک روش صحیح برای مطالعه باز می‌گردد. عده‌ای فقط به حفظ کردن مطالب اکتفا می‌کنند، بطوری که یادگیری معنا و مفاهیم را از نظر دور می‌دارند. این امر موجب فراموش شدن مطالب بعد از مدتی می‌شود، در واقع آنچه اهمیت دارد یادگیری معنا و مفهوم است، چیزی که نمی‌توانیم و نباید از آن دور باشیم.
برای آنکه مطلبی کاملا آموخته شده و با اندوخته‌های پیشین پیوند یابد، باید حتما معنا داشته باشد، در این صورت احتمال یادگیری بیشتر و احتمال فراموشی کمتر خواهد شد. بنابراین قبل از اینکه خود را محکوم کنیم به نداشتن استعداد درس خواندن ، کمبود هوش ، کمبود علاقه ، عدم تونایی و سایر موارد ، بهتر است نواقص خود را در مطالعه کردن بیابیم و به اصطلاح آنها بپردازیم. در اینصورت به لذت درس خواندن پی خواهیم برد. اولین قدم در این راستا آن است با اندکی تفکر عادتهای نامطلوب خود را در مطالعه یافته و سپس عادتهای مطلوب جایگزین آن گردد.

برای تغییر عادات مطالعه مراحل زیر را باید در نظر گرفت:

آگاهی ،درباره موضوع
۱/ علاقه
۲/ ارزیابی ،ارزیابی اطلاعات بدست آمده با در نظر گرفتن موقعیتهای موجود
۳/ مطابقت خود با فکر تازه و اختیار و قبول آن

انواع روشهای مطالعه
روش پس ختام
این روش یکی از مهمترین و معروفترین روشهای بهسازی حافظه است. نام این روش همانند نام انگلیسی آن (PQ4R) متشکل از حروف اول شش مرحله آن است.
مراحل پیش خوانی
در این مرحله کتاب یا مطلب بصورت یک مطالعه اجمالی و مقدماتی مطالعه شود. از جمله موارد این مرحله خواندن عنوان فصلها ، خواندن سطحی فصل ، توجه به تصاویر ، بخشهای اصلی و فرعی و خلاصه فصلها می‌باشد. هدف در این مرحله یافتن یک دید کلی نسبت به کتاب و ارتباط دادن بخشهای مختلف کتاب با یکدیگر می‌باشد.
مرحله سؤال کردن
پس از مطالعه اجمالی موضوعات و نکات اصلی ، به طرح سؤال در مورد آنها بپردازید. این کار باعث افزایش دقت و تمرکز فکر و سرعت و سهولت یادگیری می‌گردد.

مرحله خواندن
در این مرحله به خواندن دقیق و کامل مطالب کتاب پرداخته ، که هدف فهمیدن کلیات و جزئیات مطالب و نیز پاسخگوی به سؤالات مرحله قبل می‌باشد. در مرحله خواندن برای فهم بهتر مطالب می‌توان از کارهایی مثل یادداشت برداری ، علامت گذاری و خلاصه نویسی بهره جست.

مرحله تفکر
در این مرحله هنگام خواندن ، ساختن سؤالها ، و ایجاد ارتباط بین دانسته‌های خود ، درباره مطلب فکر کنید. در این مورد نیز مهمترین اصل همان بسط معنایی است. بسط معنایی ممکن است در مراحل پنجم و ششم نیز یعنی در مراحل از حفظ گفتنی و مرور کردن نقشی داشته باشد.
مرحله از حفظ گفتنی
در این مرحله باید بدون مراجعه به کتاب و از حفظ به یادآوری مطالب خوانده شده پرداخته شود و بار دیگر به سؤالاتی که خود فرد طرح کرده بود پاسخ دهد. در اینجا باید مطالب آموخته شده را در قالب کلمات برای خود کرده ، در غیر اینصورت لازم است که مجددا به خواندن مطالبی که آموخته نشده پرداخته شود. مرحله از حفظ گفتنی در پایان هر بخش انجام می‌گیرد و وقتی بخشهای یک فصل به اتمام رسید به مرحله بعد ، یعنی مرور کردن یا آزمون وارد می‌شویم.
مرحله مرور کردن
این مرحله ، که مرحله آزمون نیز می‌باشد، در پایان هر فصل انجام می‌گیرد. در اینجا به مرور موضوعات اصلی و نکات مهم و نیز ارتباط مفاهیم مختلف به یکدیگر پرداخته و در صورت برخورد با موضوعات مورد اشکال به متن اصلی یا مرجع مراجعه شود. یکی از راههای کمک به این مرحله پاسخگوئی به سئوالات و تمرینات پایان فصل است: اجرای این مرحله می‌تواند مقداری از اضطراب امتحان را کاهش دهد.

روش دقیق خوانی
هدف از این مرحله این است که مطالب کامل و دقیق درک شده و بصورتی سازمان یافته و منظم در حافظه نگهداری شود. برخی از فنون موجود که می‌تواند به روش دقیق خوانی کمک کند عبارتند از:
تکنیک خلاصه برداری
به نوشتن عبارت ، مفاهیم و موضوعات کلیدی متن پرداخته ، بطوری که در مرور مطالب ، با نگاه کردن و خواندن خلاصه‌ها ، همه مطالب خوانده شده را یادآوری کند. یک روش بسیار مطلوب این است که از خلاصه‌ها نیز دوباره خلاصه برداری شود.
تکنیک سازماندهی مطالب
این تکنیک باعث افزایش درک و سرعت یادگیری و سهولت در بازیابی مطالب آموخته شده می‌شود. برای سازماندهی مطالب استخراج سه بخش از متن اصلی مورد مطالعه لازم است که عبارتند از:
موضوع اصلی: موضوعی که تمامی مطالب را در بر می‌گیرد و بقیه مطالب حول و حوش آن می‌چرخد.
نکته‌های اصلی: خطوط و اندیشه‌های اصلی و مهم هستند که در مجموع موضوع اصلی را می‌سازند و از صراحت بیشتری برخوردار است.
نکات جزئی: اطلاعات جزئی‌تر هستند که بصورت مثالها ، نمونه‌ها ، عکس و تصویر اطلاعات واقعی مطرح می‌گردند.

تکنیک علامت گذاری در متن
در این تکنیک علامتهایی را بر روی متن اصلی انجام داده ، از قبیل علامت گذاری به شکلهای مختلف در متن ، خط کشیدن زیر عبارات مهم ، حاشیه نویسی و ... ، این موارد بسته به صلیقه‌های افراد متفاوت می‌باشد. اما نکته مهمی که در هر نوع علامت گذاری حائز اهمیت است این است که ، بهتر است همانند تکنیک سازمان دهی ، مطالب را در سه دسته مجزا) موضوع اصلی ، نکته اصلی ، موارد جزئی ( قرار داده و آنها را با علامتهای مختلف نشان دهید.
در کنار روش مطالعه عوامل محیطی نیز در میزان یادگیری تأثیر دارد. یک محیط مناسب باعث توجه و تمرکز بهتر و بیشتری می‌شود.
حذف عوامل مزاحم فکری
مواردی هست که بخش عظیمی از وقت و فعالیت ذهنی را موضوعاتی به خود مشغول می‌دارند که هیچ رابطه با موضوع ندارند، موضوعاتی مانند: رفتار معلمان و استادان ، افزایش شهریه و نوع رفت و آمد و … برخی از موضوعاتی هستند که موقع مطالعه اگر به آنها فکر شود از کارایی مطالعه می‌کاهد. برخی حتی خیال پردازیهایشان را موقع مطالعه انجام می‌دهند؛ که به شدت فکر را آشفته کرده و تمرکز را از بین می‌برد. توصیه کلی این است که اگر ذهن خود را از افکار مختلف پاک کنید تا بر روی موضوع مورد مطالعه تمرکز کنید، مطالعه را کنار بگذارید و زمانی مطالعه را شروع کنید که سرحال، علاقمند و متمرکز هستید.
فراهم کردن محیط مناسب
محل و مکانی که مطالعه در آنجا انجام می‌شود باید مناسب باشد. منظور از محل مناسب مکانی است که آرام ، ساکت و دور از عوامل مزاحم محیطی باشد، این باعث تمرکز بهتر روی موضوع مطالعه می‌شود. بعضی افراد محل و زمانی را برای مطالعه انتخاب می‌کنند که بسیار شلوغ و پر سرو صدا است و بعضی از افراد رختخواب را برای مطالعه انتخاب می‌کنند و توقع یادگیری سطح مطلوب را دارند، ولی از این حقیقت غافلند که این محلها بدترین محل برای مطالعه است.
بارها شنیده ایم که دانش آموز یا دانشجویی می گوید :
(( دیگرحال و حوصله خواندن این کتاب را ندارم ))یا ((آنقدرازاین کتاب خسته شده ام که قابل گفتن نیست))ویا ((هرچقدرمیخوانم مثل اینکه کمتر یاد می گیریم))ویا ((۱۰ بار خواندم و تکرار کردم ولی بازهم یاد نگرفتم))به راستی مشکل چیست ؟ آیا برای یادگیری درس واقعا" باید ۱۰ بار کتاب را خواند ؟ آیا باید دروس خود را پشت سرهم مرورکرد؟وآیا بایددهها بار درس راتکرارکردتا یادگرفت ؟ مطمئنا" اگر چنین باشد ، مطالعه کاری سخت و طاقت فرسا است . اما واقعیت چیزی دیگر است . واقعیت آن است که این گروه از فراگیران ، روش صحیح مطالعه را نمی دانند و متاسفانه در مدرسه و دانشگاه هم چیزی راجع به چگونه درس خواندن نمی آموزند . یادگیری و مطالعه ، رابطه ای تنگاتنگ و مستقیم با یکدیگر دارند، تا جایی که می توان این دو را لازم و ملزوم یکدیگر دانست. برای اینکه میزان یادگیری افزایش یابد باید قبل از هرچیز مطالعه ای فعال و پویا داشت .

شیوه صحیح مطالعه ،چهار مزیت عمده زیر را به دنبال دارد:
۱- زمان مطالعه را کاهش میدهد.
۲- میزان یادگیری را افزایش میدهد .
۳-مدت نگهداری مطالب در حافظه را طولانی تر می کند.
۴- بخاطر سپاری اطلاعات را آسانتر می سازد.
برای داشتن مطالعه ای فعال وپویانوشتن نکات مهم درحین خواندن ضروری است تابرای مرورمطالب،دوباره کتاب رانخوانده ودر زمانی کوتاه ازروی یادداشتهای خودمطالب رامرور کرد . یادداشت برداری ، بخشی مهم و حساس از مطالعه است که باید به آن توجهی خاص داشت . چون موفقیت شما را تا حدودی زیاد تضمین خواهد کرد و مدت زمان لازم برای یادگیری را کاهش خواهد داد. خواندن بدون یادداشت برداری یک علت مهم فراموشی است.

شش روش مطالعه :
خواندن بدون نوشتن خط کشیدن زیرنکات مهم حاشیه نویسی خلاصه نویسی کلید برداری خلاقیت و طرح شبکه ای مغز
۱-خواندن بدون نوشتن: روش نادرست مطالعه است . مطالعه فرآیندی فعال و پویا است وبرای نیل به این هدف باید از تمام حواس خود برای درک صحیح مطالب استفاده کرد. باید با چشمان خود مطالب را خواند، باید در زمان مورد نیاز مطالب را بلند بلند ادا کرد و نکات مهم را یادداشت کرد تا هم با مطالب مورد مطالعه درگیر شده و حضوری فعال و همه جانبه در یادگیری داشت و هم در هنگام مورد نیاز ، خصوصا" قبل از امتحان ، بتوان از روی نوشته ها مرور کرد و خیلی سریع مطالب مهم را مجددا" به خاطر سپرد .
۲- خط کشیدن زیر نکات مهم :این روش شاید نسبت به روش قبلی بهتر است ولی روش کاملی برای مطالعه نیست چرا که در این روش بعضی از افراد بجای آنکه تمرکز و توجه بروی یادگیری و درک مطالب داشته باشند ذهنشان معطوف به خط کشیدن زیر نکات مهم می گردد .حداقل روش صحیح خط کشیدن زیر نکات مهم به این صورت است که ابتدا مطالب را بخوانند و مفهوم را کاملا" درک کنند و سپس زیر نکات مهم خط بکشند نه آنکه در کتاب بدنبال نکات مهم بگردند تا زیر آن را خط بکشند .
۳- حاشیه نویسی :این روش نسبت بدو روش قبلی بهتر است ولی بازهم روشی کامل برای درک عمیق مطالب و خواندن کتب درسی نیست ولی می تواند برای یادگیری مطالبی که از اهمیتی چندان برخوردار نیستند مورد استفاده قرار گیرد.
۴- خلاصه نویسی : در این روش شما مطالب را میخوانید و آنچه را که درک کرده اید بصورت خلاصه بروی دفتری یادداشت می کنید که این روش برای مطالعه مناسب است و از روشهای قبلی بهتر می باشد چرا که در این روش ابتدا مطالب را درک کرده سپس آنها را یادداشت می کنید اما بازهم بهترین روش برای خواندن نیست .
۵- کلید برداری :کلید برداری روشی بسیار مناسب برای خواندن و نوشتن نکات مهم است . در این روش شما بعد از درک مطالب ، بصورت کلیدی نکات مهم را یادداشت می کنید و در واقع کلمه کلیدی کوتاهترین، راحتترین ،بهترین وپرمعنی ترین کلمه ای است که با دیدن آن، مفهوم جمله تداعی شده و به خاطر آورده می شود .
۶- خلاقیت و طرح شبکه ای مغز: این روش بهترین شیوه برای یادگیری خصوصا" فراگیری مطالب درسی است .در این روش شما مطالب را میخوانید بعد از درک حقیقی آنها نکات مهم را به زبان خودتان و بصورت کلیدی یادداشت می کنید و سپس کلمات کلیدی را بروی طرح شبکه ای مغز می نویسد ( در واقع نوشته های خود را به بهترین شکل ممکن سازماندهی می کنید و نکات اصلی و فرعی را مشخص می کنید)تا در دفعات بعد به جای دوباره خوانی کتاب ، فقط به طرح شبکه ای مراجعه کرده وبا دیدن کلمات کلیدی نوشته شده بروی طرح شبکه ای مغز ، آنها را خیلی سریع مرور کنید . این روش درصد موفقیت تحصیلی شما را تا حدود بسیار زیادی افزایش میدهد و درس خواندن را بسیار آسان می کند. و بازده مطالعه را افزایش میدهد.

شرایط مطالعه
((بکارگیری شرایط مطالعه یعنی بهره وری بیشتر از مطالعه ))
شرایط مطالعه ، مواردی هستند که با دانستن ، بکارگیری و یا فراهم نمودن آنها ، می توان مطالعه ای مفیدتر با بازدهی بالاتر داشت و در واقع این شرایط به شما می آموزند که قبل از شروع مطالعه چه اصولی را به کار گیرید ، در حین مطالعه چه مواردی را فراهم سازید و چگونه به اهداف مطالعاتی خود برسید و با دانستن آنها می توانید با آگاهی بیشتری درس خواندن را آغاز کنید و مطالعه ای فعالتر داشته باشید :
۱- آغاز درست :برای موفقیت در مطالعه ،باید درست آغازکنید.
۲- برنامه ریزی : یکی از عوامل اصلی موفقیت ، داشتن برنامه منظم است .
۳- نظم و ترتیب: اساس هر سازمانی به نظم آن بستگی دارد .
۴-حفظ آرامش: آرامش ضمیر ناخود آگاه را پویا و فعال میکند.
۵- استفاده صحیح از وقت :بنیامین فرانکلین، ((آیا زندگی را دوست دارید؟ پس وقت را تلف نکنید زیرا زندگی از وقت تشکیل شده است .))
۶- سلامتی و تندرستی: عقل سالم در بدن سالم است .
۷- تغذیه مناسب: تغذیه صحیح نقش مهمی در سلامتی دارد.
۸- دوری از مشروبات الکلی : مصرف مشروبات الکلی موجب ضعف حافظه می شود .
۹ – ورزش : ورزش کلید عمر طولانی است .
۱۰-خواب کافی: خواب فراگیری و حافظه را تقویت می کند.
۱۱ –درک مطلب:آنچه در حافظه بلند مدت باقی می ماند ، یعنی مطالب است .

چندتوصیه مهم که بایدفراگیران علم ازآن مطلع باشند.
۱- حداکثر زمانی که افراد می توانند فکر خود را بروی موضوعی متمرکز کنند بیش از ۳۰ دقیقه نیست ، یعنی باید سعی شود حدود ۳۰ دقیقه بروی یک مطلب تمرکز نمود و یا مطالعه داشت و حدود ۱۰ الی ۱۵ دقیقه استراحت نمود سپس مجددا" با همین روال شروع به مطالعه کرد.
۲- پیش از مطالعه از صرف غذاهای چرب و سنگین خودداری کنید. و چند ساعت پس از صرف غذا مطالعه نمائید چون پس از صرف غذای سنگین بیشتر جریان خون متوجه دستگاه گوارش میشود تا به هضم و جذب غذا کمک کند و لذا خونرسانی به مغز کاهش می یابد و از قدرت تفکر و تمرکز کاسته میشود . از مصرف الکل و دارو هم خودداری فرمائید همچنین غذاهای آردی مثل نان و قندی قدرت ادراک و تمرکز را کم می کند نوشابه های گازدارهم همینطور هستند.
۳- ذهن آدمی با هوش است اگر یادداشت بردارید خود را راحت از حفظ و بیاد سپاری مطالب می کند و نیز همزمان نمی توانید هم مطلبی را بنویسید و هم گوش دهید . پس در حین مطالعه لطفا" یادداشت برداری ننمائید .www.zibaweb.com
انسان به عنوان یکی از موجودات عالم ، امتیازات زیادی نسبت به سایر موجودات دارد. یکی از این امتیازات قدرت یادگیری ، تفکر و حفظ اطلاعات است . قدرت یادگیری و حفظ اطلاعات باعث تفاوت میان انسان و حیوان شده و نیز برتری انسان را نسبت به سایر موجودات به اثبات رسانده است.
بنابراین درگیری فکری با استعداد سوال بر انگیز حافظه و یادگیری در حافظه محدود به زمان حاضر که مادر آن زندگی می کنیم نیست بلکه بسیاری از تمدنها در گذشته منشاء و کارکرد حافظه را مدنظر داشته اند .
بیش از ۲۵۰۰ سال پیش ، یونانیان ، هنری را در باره حافظه اختراع کردند که عموما" تحت عنوان تدابیر((یادیار)) نامیده می شود . و به معنی نقش بستن اثرات مکانها و تصاویر بر روی حافظه است .
اولین سیستم تقویت حافظه به وسیله شاعر یونانی به نام سیمونیدز ((Simonides ))در قرن پنجم و ششم قبل از میلاد پدید آمده است .
شرح واقعه چنین است که سیمونیدز ، تالار ضیافتی را که در آن شعر طویلی را ایراد کرده بود برای چند لحظه ترک کرد . در همین حین ، سقف تالار فرو می ریزد و در نتیجه تخریب تالار و مرگ میهمانان ، هویت آنان غیر قابل شناسایی می شود . اما پس از بازسازی تالار ، سیمونیدز توانست جایگاه دقیق هر یک از حاضرین را بیش از قرائت شعر بیاد آورد و تمامی آنها را شناسایی کند بدین ترتیب بود که نخستین تئوری تداعی در بخاطر سپاری و اساس تمامی سیستمهای منمو تکنیک (تدابیر یادیار )پدید آمد .
افلاطون می گوید : روح دارای بستری است از موم قالب سازی شده که منحنی ، غلظت و خلوص آن در افراد مختلف متفاوت است و همین موم نقش احساسات و اندیشه ها را می پذیرد. این نقش حک شده که از حیث برجستگی مانند نقوش یک مهر به نظر می رسد ، همانند نشانه ای از اشیاء است که امکان بخاطر آوردن آنها را فراهم می سازد . اگر نشانه ای ناپدید و فراموش می شود ، به این خاطر است که به طور کامل بر روی این موم حک نشده است .
ارسطو معتقد بود:حافظه مجموعه ای از تصاویر ذهنی است که تنهااز راه تاثیرات حسی به دست می آید . وی تنها کسی بود که قوانین منموتکنیک را به صورت تداعی پایه ریزی کرد. سنت توماس اکیناس ، سه قانون اولیه تداعی ارسطو را احیاءکرد.
۱-قانون تشابه : خاطره مشابه با تاثیر معینی به یاد می ماند .
۲-قانون عکس یا متضاد : اگر دو یا چند تاثیر ، آنتی تز یکدیگر باشند داشتن یکی سبب یاد آوری دیگری می شود.
۳-قانون همزمانی یا همراهی : اگر دو یا چند تاثیر همزمان اتفاق بیافتند ، بروز یکی سبب یاد آوری دیگری می شود .
بنابراین براساس نظریات داده شده می توان گفت حافظه عبارت است از کنشی که احیای تجارب گذشته را در بر می گیرد . یا یک استعداد همگانی در بخاطر سپاری رویدادها و اطلاعات و همچنین یاد آوری آنهاست پس حافظه قابلیت رشد ، تقویت و پرورش را داشته و بیش از همه به بکارگیری و تمرین نیاز دارد .حافظه شبیه عضله می باشد که با تمرین کردن پرورش یافته و تقویت می گردد و در صورت عدم بکارگیری سست و تنبل می شود .
در این مقاله قواعدی را بیان می کنیم که شما را در داشتن یک حافظه خوب یاری می کنند . همچنین تکنیکهای ساده و در عین حال کاملا" موثر و کاربردی را ارائه می دهیم که پس از مطالعه و یادگیری و در صورت بکارگیری آنها شاهد تحول بسیار چشمگیری در روند بخاطر سپاری مطالب خواهید بود .
تقویت و بهبود حافظه همان یادگیری بهتر است . تقویت حافظه یعنی رعایت اصول و قوانین حاکم بر یادگیری ، اگر قوانین حاکم بر یادگیری را خوب رعایت کنیم بهتر یاد خواهیم گرفت و در نتیجه احساس می شود که کارائی حافظه بالا رفته است پس حافظه ما تقویت شده است تقویت حافظه یا پرورش حافظه همان عوامل موثر بر یاد آوری است که روان شناسان به عنوان روشهای پرورش حافظه پیشنهاد کرده اند . قبل از بیان روشهای موثر در بخاطر سپاری ،اصول حاکم بر یادگیری را ذکر می کنیم که عبارتنداز :
۱- مرحله اول – توجه : اولین گام در جریان هریادگیری توجه است .
۲- مرحله دوم – زبان گردانی : گام دوم در یادگیری ((زبان گردانی )) مطالب مهم است . زبان گردانی عبارت است از تبدیل مطالب شنیده یا خوانده شده به زبان مشخص و معنی دار . این کار را می توان از طریق برگرداندن مطالب به زبان خودمان یا ایجاد تصویری در ذهن از مطالب مزبور انجام داد .
۳- مرحله سوم – پیوند مطالب جدید با دانسته های قبلی : مرحله سوم در یادگیری کلامی بسیار مهم است . اگر به مطلبی توجه کرده و آنرا به زبان خود برگردانده باشید . بازهم بیش از چند لحظه در خاطرتان باقی نخواهند ماند. برای فراموش نکردن و بخاطر سپردن چنین مطالبی در حافظه بلند مدت ، باید از مکانیسم پیوند استفاده کرد. منظور از پیوند ایجاد ارتباط بین مطالب جدید و دانسته های قبلی است .
●ویژگیهای راههای بهبود حافظه
الف : اصول استفاده از حافظه
ب : بهداشت حافظه
ج : اصول اولیه مطالعه
د : درک و یادگیری و یاد سپاری

الف -اصول استفاده از حافظه :
۱-آموزش : به وسیله آموزش می توان عمل فراگیری یا بهره گیری از حافظه را که یک فعالیت مستقیم و قابل کنترل است افزایش داد. www.zibaweb.com
۲-علاقه:اگربه موضوعی علاقمند باشید بهتر آن را یاد می گیرید.موضوع مورد مطالعه و همچنین میزان علاقه ای که خواننده نسبت به مطلب دارد ، در بخاطر سپاری آن مطلب در حافظه تاثیر زیادی دارد بخاطر سپردن موضوعات مورد علاقه در حافظه به سهولت انجام می گیرد . و همچنین به آسانی می توان آنها را بیاد آورد بنابراین علاقه در یادگیری نقش دارد . هر چه قدر حافظه قوی داشته باشیدبه خاطر سپردن مطالبی که به آنها علاقه ای ندارید امکان پذیر نخواهد بود . فقط از راه ایجاد علاقه در خود می توانید از عهده این کار بر آیید.
۳-تمرکز حواس : داشتن تمرکز حواس هنگام یادگیری موجب می شود که مطالب آموخته شده بهتر در حافظه باقی بماند . اصولا" بدون داشتن تمرکز نمی توان مطلبی را به خوبی فهمید . باید هنگام مطالعه تمامی حواس خود را بر روی مطالب متمرکز کنید تا بتوانید آنها را به حافظه خود بسپارید . برای ایجاد تمرکز باید شرایط مطالعه را نیز رعایت کنید . در واقع با رعایت شرایط مطالعه موقعیت مناسبی را برای تمرکز و یادگیری بهتر مطالب ایجاد می کنید.
۴-طبقه بندی مطالب مورد مطالعه : (ارتباط ) :یکی از اصول حاکم بر حافظه اصل ارتباط و بهم پیوستگی است یعنی ، حافظه مطالب مرتبط و به هم پیوسته را بهتر در خود جای می دهد و هر چقدر آموخته های شما بیشتر با همدیگر ارتباط داشته باشند به همان نسبت به خاطر سپاری و بیاد آوری آنها آسانتر خواهد بود. حافظه به شکل زنجیره ای عمل می کند . بنابراین مطالب باید به صورت زنجیره ای ، پیوسته و در ارتباط باهم در آیند تا کار بخاطر سپاری و از آن مهمتر، عمل بیاد آوری راحت باشد.
۵-خوب درک کردن ( درک مفاهیم ):پرفسور ((ربروت توکه )) می گوید : ((درسی که کاملا" فهمیده شود از قبل یاد گرفته شده است .)) پس اگر مطلبی را بجای حفظ کردن بفهمید ،بهتر در حافظه ضبط و بایگانی می گردد.واصولا" اگرمتنی به خوبی درک شود ، کمتر فراموش می شود . قبل از آنکه بخواهید مطلبی را حفظ کنید ، ابتدا باید آن مطلب را مورد بررسی و تجزیه و تحلیل قرار دهید . و هنگامی که آنرا به خوبی درک کردید بخاطر بسپارید .
۶-اعتماد به نفس : اعتماد به حافظه نخستین گام تقویت حافظه است ، باید به قوی بودن حافظه خود اعتماد داشته باشید . باید از کاربرد کلمات و جملاتی که موجب تضعیف حافظه می شوند جدا" خودداری کنید . حتما" از گفتن جملاتی نظیر حافظه ام یاری نمی کند ، حافظه ام ضعیف شده است …. خودداری کنید. چرا که با گفتن این جملات ، به خودتان تلقین می کنید که واقعا" حافظه تان ضعیف شده است ، در آن صورت حافظه نیز به یاری شما نمی شتابد.
نتیجه : آنچه که در ذهن شماست نتیجه یادگیری و بخاطر سپاری صحیح است . بخاطر سپاری مهارتی قابل کسب است حافظه را می توان طوری تربیب کرد که موثرتر انجام وظیفه کند .کسانی که به روشهای یادگیری خود توجه بیشتر دارند و هنگام به خاطر سپردن مطلبی تمرکز حواس داشته باشند و مطالب را با نظم وترتیب در حافظه ضبط کنند آن موقع به خاطر آوری مطلب در آنها آسانتر خواهد بود.
ب - اصول بهداشت حافظه :
چگونه می توان یک حافظه بهتر داشت ؟یادگیری و حفظ مطالب به چند صورت امکان پذیر است ؟
چگونه می توان حافظه را به فعالیت وا داشت ؟
ذهن آدمی همچون دیگر اعضاء بدن احتیاج به مواد غذائی و مراقبت دارد . همانطور که به وضع پوشش خود دقیق هستیم باید به بهداشت و سلامت روانی حافظه و مغز دقت کنیم . هنگام کار و فعالیتهای ذهنی ،برای سلامتی و جلوگیری از فرسودگی زودرس حافظه باید موارد بهداشتی زیر را رعایت کرد :
۱-تاثیر تغذیه مناسب بر حافظه ( اعم از اکسیژن و غذا ) : تغذیه مناسب یکی از مهمترین عوامل در افزایش کارایی حافظه است . کلسیم و منیزیم و فسفر سه عنصر اساسی و ضروری برای حافظه به شمار می آید و باید با تغذیه مناسب مانند : جوانه گندم ، لبنیات ،جگر ، بادام ، گردو ، فندق ، سبزیجات و تخم مرغ می توان مواد مورد نیاز مغز را تامین کرد . و در فعالیتهای شدید ذهنی باید از مصرف زیاد چربی ، نان ، وقند بپرهیزید و تا حد امکان از غذاهای دارای پروتئین مانند تخم مرغ ، گوشت – جگر سیاه و ماهی استفاده کنید . به طور کلی در نظر داشته باشید که پرخوری و معده سنگین فعالیت ذهنی را سست و محدود می کند
۲-تاثیر دخانیات و مواد مخدر: استفاده از سیگار و دخانیات نه تنها موجب خستگی زودرس جسم و روان می شود بلکه عمل طبیعی سیستم عصب و حافظه را مختل کرده و اثرات دائمی دارد و با عدم استفاده از آنها می توانیم کارایی حافظه را بالا ببریم .
۳-تاثیر استرس بر حافظه :استرس یکی از عواملی است که موجب رکود ذهن در مرحله فکر کردن می شود . استرس در دو مرحله مهم باعث اخلال در عمل حافظه می شود : یکی در مرحله ثبت اطلاعات و دیگری در مرحله یاد آوری اطلاعات . مسائلی چون مرگ یا حادثه ناگوار برای یکی از اعضای خانواده ، ترس ، خوشحالی بیش از حد و ازدواج می تواند بر کارایی حافظه تاثیر گذارد .
توجه : اکثر دانش آموزان موقع امتحان بیشتر به طرف پایین خیره می شود که این عمل کارایی حافظه را در یاد آوری مطالب پایین می آورد پس بهتر است که با چشمانی باز به گوشه بالا و چپ یا بالا و راست بنگرید . این عمل فیزیکی به نیمکره های مغز کمک می کند تا همکاری بهتری داشته باشند و امکان دستیابی شما به اطلاعات را فراهم آورند .
۴-تاثیر استراحت در حافظه : هنگام مطالعه نباید خسته باشید ، اگر احساس خستگی می کنید کمی باید استراحت کنید و بعد مطالعه را شروع کنید . پس از یادگیری نیز حتما" استراحت کنید تا آموخته های شما مجال استحکام و پایداری در حافظه را پیدا کنند و از به وجود آمدن عامل تداخل جلوگیری شود.
۵-تاثیر آرامش در حافظه : تا حدممکن در هنگام مطالعه آرامش بیشتری داشته باشیدچون در وضعیت آرامش ، امواج آلفا که بین ۱۳-۸ هرتزاست در مغز منتشر می شود . در این حالت انسان می تواند از حداکثر نیروهای مغز خویش بهره جوید و یادگیری و بخاطر سپاری را تسهیل بخشد . در ضمن حفظ آرامش و حالت طبیعی ارگانیسم کارکرد طبیعی مغز و اعصاب را نیز تسهیل می کند.
ج- اصول اولیه مطالعه :
اولین اصل قبل ازشروع مطالعه چیست ؟ چگونه می توان بازده مطالعه را افزایش داد ؟ نحوه تفکرات واراده چه نقشی در مطالعه و کارهای روزمره دارد؟ و بهترین زمان و مکان مناسب برای مطالعه چیست ؟ یکی از ضروری ترین و کاملترین ابزار پیشرفت انسان مطالعه است برای اینکه بتوانید مطالعه بهتری داشته باشید تا بازیابی و بخاطر سپاری آن آسان باشد اصول زیر را باید رعایت نمائید :
۱-هدف : تیری که بدون هدف رها شود بی نتیجه خواهد بود. قبل از شروع مطالعه باید حتما" هدف خود را مشخص کنید . زیرا وقتی که هدف خود را مشخص کردید آمادگی بیشتری برای خواندن و یادگیری خواهید داشت و داشتن هدف به شما کمک می کند تا در حین مطالعه دقت بیشتری داشته باشید و تمرکز حواس نیز بهبود می یابد ، بنابراین قبل از مطالعه هر کتابی ، هدف خود را به طور دقیق و واضح بیان کنید .
۲-برنامه ریزی : برنامه ریزی درسی ، این امکان را می دهد که بهتر ودر زمان مخصوص به خودش آن درس را بخوانید با طرح برنامه ، نظم خاصی به روند یادگیری خود می دهید . که این نظم خاص بمکانیسم حافظه در بخاطر سپاری مطلب کمک می کند.
۳- مکان و زمان مطالعه : مکان مطالعه باید آرام بوده ،از نور کافی برخوردار باشد و زمان مطالعه بهتر است موقع صبح باشد، حافظه وقع صبح فعال تر می باشد.
بنابراین قبل از شروع مطالعه باید هدف مشخص شود و به صورت معقول برنامه ریزی کنید و با علاقه وبدون هر نگرانی در اجرای برنامه نهایت سعی تان را بکار ببرید ورزش را به زندگی خود وارد کنید.

د - درک ، یادگیری و یادسپاری :

-چرا برای به خاطر سپردن مطالب یک کتاب ، چند بار آن را می خوانیم و پس از مدتی مطالب را فراموش می کنیم ؟
-آیا فهمیدن دلیل بریاد داشتن برای همیشه است و خلاصه نویسی به چه صورت باید انجام بگیرد؟
-رعایت کدام اصل بخاطر سپردن مطلب یک کتاب را برای همیشه امکان پذیر می سازد.؟
برای اینکه مطالب خوانده شده را در حافظه بلند مدت خود ضبط کرده و برای مدتهای طولانی – بدون مراجعه به اصل کتاب کل مطلب را به یاد داشته باشید و در مواقع لزوم با صرف وقت کمتر به یاد بیاورید می توان از روش خلاصه کردن و الگوهای یادآوری استفاده کرد.
۱-اصل الگوهای یادآوری : عبارت از درک مطلب و متن خوانده شده ونوشتن آنها به صورت کلمات کلیدی. این کار که همان خلاصه نویسی می باشد در هنگام مطالعه سبب افزایش تمرکز حواس و مانع از خواب آلودگی می شود و قدرت به یادسپاری مطلب را بالا می برد. بنابراین خلاصه نویسی و الگوهای یاد آوری که از اصول درک و یادگیری و یاد سپاری است دارای مراحل ذیل می باشد .
الف: یادداشت برداری : در یادداشت برداری نکات بصورت اصلی و فرعی نوشته می شوند بدین صورت که موضوع اصلی و مورد بحث را نوشته و هر مطلب راجع به آن را به طور منظم بر روی شاخه های اصلی و فرعی می نویسید در اینجا از جمله نویسی پرهیز می کنید و از کلمات کلیدی استفاده می کنید . با توجه به اینکه یاداشت برداری و خواندن دو عمل مجزا می باشد و هر یک کار فیزیکی متفاوتی دارد لذا از خواندن توام با نوشتن پرهیز کنید زیرا در کار مغز اختلال ایجاد می کند .
ب – مرحله بازنگری و تکمیل : پس از پایان مبحث خوانده شده و خلاصه نویسی الگوهای یاد آوری را بررسی، و آن را تکمیل و مرتب کرده ودر مرتب کردن سعی کنید کلمات کلیدی باهم ارتباط بیشتر داشته باشد.
ج – مرحله تعریف : بعد از آن دو مرحله متن اصلی را کنار گذاشته با نگاه کردن به الگوهای یاد آوری و کمک گرفتن از اطلاعات موجود در مغز آنچه را یاد گرفته اید با صدای بلند توضیح دهید. این مرحله مغز شما را پویا و فعال خواهد کرد .
د – مرحله تکرار و مرور : مرور و یاد آوری از فراموشی مطالب جلوگیری می کنند و حفظ و یاد آوری مطالب به همین عنوان است . اگر مطالب مرور وتکرار شود از فراموشی آن مطالب جلوگیری می شود .
بیش از ۹۰% از مطالب خوانده شده بعداز ۲۴ ساعت فراموش می شوند در حالیکه مرحله مرور مانع از فراموشی مطالب می شود . پس باید بعد از خلاصه نویسی الگوهای یاد آوری را تکرار و مرور کنید.
● اصول دیگر بازسازی و یادآوری :
۲- تداعی : برای بازسازی و یادآوری موضوعات جدید باید تداعی مناسب بین آنها بر قرار کنید، چون حافظه به صورت زنجیره ای عمل می کند پس باید هر یک از موضوعات را یکی از حلقه های زنجیر در نظر گرفت . آن وقت این حلقه ها را با کمک سیستم های تداعی بهم پیوند داد. اما از آنجا که هر چقدر این تداعی غیر منطقی تر باشد بهتر در حافظه باقی می ماند، بنابراین باید سیستم های تداعی را به صورت مضحک مبالغه آیز رنگهای غیر واقعی در آورد تا موضوعی بهتر در حافظه باقی بماند . بنابراین تداعی بین اطلاعات کمک بزرگی در بخاطر سپاری آنها می کند.
۳-تجسم : تداعی بین اطلاعات به تنهایی کافی نیست ، بلکه باید علاوه بر تداعی ، آنها را به وضوح و آشکارا در ذهن خود مجسم کنید . تجسم از اعمال نیمکره راست مغز است . بنابراین اگر در هنگام بخاطر سپاری از نیمکره راست مغز خود را نیز بهره بگیرید یعنی همزمان از دو نیمکره مغز خود استفاده کنید تداعی یادگیری و بخاطر سپاری اطلاعات چندین برابر می شود.
بنابراین به طور کلی داشتن هدف ، اعتماد داشتن ، علاقه ، سلامتی ، اکسیژن کافی ،دقت ، تمرکز ، استراحت ، خواب کافی ، آرامش ، مدت یادگیری برنامه ریزی ، یادگیری با فاصله – تصمیم به خاطر سپردن ، خوب درک کردن و… از عوامل موثر در بهبود به خاطر سپاری و بازیابی حافظه است .
● نتیجه
به خاطر سپردن ، مهارت و هنری است همانند حرف زدن ، خواندن و فکر کردن هر کسی می تواند با تلاش و آموزش اصولی بهبود حافظه که ذکر کردیم هر یک از این مهارتها یا همه آنها را در خود تقویت کرده و بهتر انجام دهد. زمانی بود که اگر به صفحه ای از یک کتاب نگاه می کردید محال بود حتی مفهوم یک کلمه را درک کنید ولی پس از گذشت سالهای دبستان توانستید هزاران کلمه خوانده و میلیونها جمله بسازید بنابراین استعداد و ظرفیت داشته اید که توانائی نوشتن و خواندن در شما شکوفا گردد اما برای اینکه کارایی حافظه شما بهبود یابد باید توجه کنید که همانگونه که اعضا جسمی بدن انسان اگر حتی جنب وجوش طبیعی و معمولی خود را از دست بدهند و یا این جنب وجوش متوقف گردد موجب بی حالی و سستی می شود تا آنجا که گمان می رود او مریض است و نیاز به درمان دارد ، حافظه را هم اگر مدتی رها کرده و او را برای یاد سپاری های مختلف بکار نبرید ، کم کم حالت پویائی خود را از دست داده و انسان احساس می کند که حافظه او کارایی لازم را ندارد .پس می توانید با رعایت اصول بهبود حافظه، میزان کارایی حافظه خود را بالا ببرید .
● اصول بهبود حافظه عبارتنداز :
۱- اصل استفاده از حافظه
۲- اصل بهداشت حافظه
۳- اصل اولیه مطالعه
۴- اصل درک و یادگیری و یاد سپاری

منابع :
۱ـ سیف ، علی اکبر ( مترجم ) ، روش های مطالعه ، چاپ دوم ، تهران ، انتشارات رشد ، ۱۳۶۴
۲ـ میرعابدینی ، امیر ، ‹‹ چگونه درس بخوانیم ؟ چگونه امتحان دهیم ؟ ›› ، تهران ، نشر
چکامه ، ۱۳۷۱

۳_ ANDERSON , J.R . AND BOWER , G.H ;
“ HUMAN ASSOCIATIVE MEMORY '
WASHINGTON , D.C ; WINSTON , 1963 .
4_ MASE , C.A ; THE PSYCHOLOGY OF STUDY , PELICAN BOOKS , 1982 .

ریاضیات در زندگی و عمل

ریاضیات در زندگی و عمل

ریاضیات و زندگی

علم لقمه برگرفتن از سفره طبیعت است . و ریاضی زاییده احتیاج ودر آغازمبتنی بر تجربه. ریاضیات انعکاس دنیای واقعی در ذهن ماست. به عقیده بعضی‌ها :ریاضیات زیباترین زبان برای توصیف طبیعت و روابط بین پدیده‌های طبیعی است.

سیلوستر می‌گوید:”ریاضیات ،مطالعه شباهتها در تفاوتها و مطالعه تفاوتها درشباهتهاست.”

علت اساسی موفقیت ریاضیدانان در آفریدن علمی به این زیبایی که عمیق‌ترین معرفت بشری شمرده می‌شود:سخت‌گیری بدون بخشش کوچکترین خطاها در کنار روش و معیارهای منطقی آنها به همراه جدیت ، خلاقیت ، به غایت اندیشیدن و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است. به هر قسمت از زندگی که کنجکاوانه و با دقت بنگریم ، اثر مستقیم یا غیر مستقیم ریاضیات در آن مشاهده می‌کنیم. نمونه آن کشف اخیر این مساله توسط دانشمندان است که :” یکی از انواع حشرات که بر روی شاخ و برگ درختان لانه سازی می‌کند، روش کارش بر اساس یک فرمول پیچیده ریاضی است.”

در حالت کلی ریاضیات ، راه های متعددی برای باز شدن فکر در اختیار ما قرار دارد که از مهمترین آنها مطالعه ی ریاضیات از جمله شاخه ی تر کیبیات است.ریاضیات این کمک را به ما میکند تا مشکلات و موضوعات زندگی را بهتر و راحت تر تجزیه و تحلیل کنیم.

آمارهای جهانی نشان می دهد طلاق در خانواده هایی که حداقل یکی از همسران ریاضی خوانده است در مقایسه با سایر خانواده ها بسیار کمتر است.

ریاضیات و علوم

اکثر ریاضیدانان بگونه ای  طبیعت شناس هستند یا اینکه هم فیزیکدان و هم ریاضیدان هستند. یعنی فیزیکدانان برای حل مشکلی از طبیعت یا بررسی مسائل طبیعی به ریاضیات مراجعه نموده‌اند.

بنابرین با ابزار ریاضی و ذهن خلاق فیزیکی میتوان پرده از خیلی مبهمات و مجهولات برداشت و ریاضی فیزیکی شد.

و به کشفهای بزرگی دست یافت که الگوی دانشمندان هم این بوده‌ است.

پس علوم مختلف بهم تنیده شده و مکملهای همدیگرند.

رشد یکی به دیگری وابسته هست و لازم پیشرفت در یک شاخه از علم پیشرفت در شاخه ای دیگر هم هست. مثالهای زیر این مسئله را برای ما روشن تر میکند.

کارل فردریک گوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵) روی نقشه های جغرافیایی کار می کرد. با روش گوس توانستند بسیاری از نقشه های جغرافیایی را نقشه برداری اصلاح کنند. ولی این روش که برای تهیه و تصحیح نقشه های جغرافیایی در نظر گرفته شده بود، برای حل مساله ی حرکت آب در اطراف یک جسم و یا حرکت هوا در اطراف بال هواپیما هم به کار گرفته شد.

می بینید، ریاضیات سالها از صنعت جلوتر است و انسان می تواند به یاری ریاضیات مساله های پیچیده ی صنعت را حل کند. به کمک یک نظریه ی ریاضی که پیش تر کشف شده بود توانستند مساله های عملی مهمی را حل کنند.

جیمس کلارک ماکسول (۱۸۳۱-۱۸۷۹) فیزیکدان انگلیسی، قانون نوسان های الکترو مغناطیسی را به یاری معادله های ریاضی بیان کرد. او با روش خالص ریاضی نتیجه گرفت و ثابت کرد موجهای الکترو مغناطیسی با سرعتی نزدیک به سرعت نور منتشر می شوند. در ضمن ماکسول تاکید کرد در طبیعت به جز موج های کوتاه، موجهای الکترومغناطیسی بلند هم وجود دارند. پیش بینی ماکسول به حقیقت پیوست و ۲۵ سال بعد، موجهای رادیویی کشف شدند. در زمان ما دقت فیزیک امروزی متوجه ذره های بنیادی است که مهم ترین آنها الکترون، پروتون و نوترون هستند. ولی آیا شما می دانید همه ی این ذره های بنیادی پیش از مشاهده پیشگویی و بعد کشف شدند. نخستین ذره ی بنیادی یعنی الکترون را ژوزف جان تامسون، فیزیکدان انگلیسی (۱۸۵۶-۱۹۴۰) کشف کرد ولی پیش بینی آن را ج بستون، فیزیکدان ایرلندی در سال ۱۸۷۲ و سپس هلمهولتس (۱۸۲۱-۱۸۹۲) فیزیکدان و ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۱ کرده بودند.

مساله ای به نام حرکت ذره های ریز- الکترون ها، پروتونها، نوترونها و . . . وجود دارد که بررسی آن، قانون تغییر ذره ها را در شرایط متفاوت مشخص و تنظیم می کند. در این بررسی بسیاری از پدیده های مربوط به فیزیک اتمی و فیزیک هسته ای روشن می شوند. این بررسی به صورت یکی از شاخه های فیزیک ر آمده است و به نام مکانیک “کوانتایی” معروف است.

بسیاری از کشف های مربوط به مکانیک کوانتایی و بسیاری از قانون های آن براساس پیشگویی های نظری و بر اساس نظریه ها و روش های ریاضی به دست آمده اند. دانشمندان هم براساس همین پیشگویی های نظری، بررسی ها و پژوهش های آزمایشی خود را انجام دادند و در نتیجه مساله های زیادی روشن و قانون های بنیادی مهمی تنظیم شدند.

آیا تنها در مکانیک کوانتایی است که در آغاز به یاری ریاضیات، حکم نظری تازه و تازه تری را کشف کردند و سپس از راه آزمایش آنها را تایید کردند؟

در زمینه ی سینماتیک گازها هم پیش تر به صورت نظری، بستگی بین درجه ی حرارت، مالش (اصطکاک) دائمی گازها و ارزش نسبی و مجرد انتشار ثابت با هدایت حرارت، محاسبه می شد و سپس بر اساس این محاسبه کشف های مهم و با ارزشی صورت گرفت.

موفقیت های تازه و کشف های جدیدی که در فیزیک، شیمی، اخترشناسی، زیست شناسی و سایر دانش های طبیعی و فنی به دست آمده اند. براساس تشکیل نظریه های تازه ی ریاضی و یا استفاده از نظریه های کهنه و فراموش شده ی ریاضی انجام گرفته است.

راهبرد هایی جهت ایجاد انگیزه در درس ریاضی برای دانش آموزان

راهبرد هایی جهت ایجاد انگیزه در درس ریاضی برای دانش آموزان
با سلام به حضور  شما بزرگواران .

با اجازه ی همکاران عزیز خواستم در مورد راههای ایجاد انگیزه در کلاس ریاضی برای دانش آموز با هم بحث کنیم . راههایی که در کلاس به کار برد ه ایم و نتیجه ی مثبت هم داشته است . ….

با اجازه ی همکاران برای شروع بحث چند راهکار که خودم از آن نتیجه ی مثبت گرفته ام را بیان می کنم . امیدوارم که همکاران عزیز نیزراهکارهای خود را برای ایجاد انگیزه در کلاس بیان کنند و ما  را از تحربیات گرانمایه شان  بهره مند نمایند .

از جمله روش هایی برای ایجاد انگیزه که تجربی است ( البته تجربه ی شخصی بنده )

۱- استفاده از کارت امتیاز به شیوه های متنوع در کلاس بخصوص برای بچه های ضعیف تر

۲- استفاده ی مکرر از کلمات تشویقی و مثبت و  محبت آمیز و بیان آنها با هیجان 

۳- امتحان های گروهی با شرکت فعال گروهها به این شیوه که گروهی می نشینند و شروع می کنند  به حل سئوالاتی که در اختیارشان گذاشته ام و بعد از تمام شدن زمان مشخص شده از هر گروه خودم یک نفر را برای قسمت شفاهی امتحان پای تابلو میارم که بیشتر هم بچه های ضعیف و متوسط رو مد نظر دارم و این امید رو هم به اونها می دم که اگه پای تابلو خوب نتونست جواب بده از بقیه ی اعضا می تونه کمک بگیره و ….. برای امتحان کتبی و شفاهی و نظم و انضباط و همکاری گروه  هر کدوم نمره ی جدایی در نظر می گیریم که جمعا ۲۰ می شود .

۴- امتحان های( کتاب باز) هم یکی دیگه از انواع امتحان هایی است که در کلاس اجرا می کنیم . به بچه ها می گیم که می تونند کتاب یا دفتر تمرینشون رو باز کنن و به راه حل هایی که مثل سئوال امتحانی است نگاه کنند و سئوال رو حل کنند و …….

۵- هر زمان که احساس کنم دانش آموز خسته است سریع در همان زمان چند حرکت کششی میگم انجام می دهند که هم خستگی اونها رفع میشه و هم خودم انرژی مجدد می گیرم و …….

بررسی مشکلات روش های تدریس ریاضی و راهکارهایی برای بهبود کیفیت آ

بررسی مشکلات روش های تدریس ریاضی و راهکارهایی برای بهبود کیفیت آموزش ریاضی

مقدمه
به نام او که عالم را بر اساس حساب و هندسه آفرید . آری به نام او که همه چیز دنیا را بر اساس حساب استوار کرد و بر پایه هندسه نظم بخشید .
جریان اندیشه های زلال ، سرزمین فکر ما را آبیاری و سر سبز می کند ، پس چه نیک است سر گذرگاه جریان اندیشه های خویش بنشینیم و از زاویه بالا آن را تماشا کنیم اگر دو ضلع زندگی امید و عمل باشد زاویه زندگی به لطف خدا همواره منفرجه است .
بدان که امید را باید به منزله مرکزی دانست که کلیه امور بشری مانند دایره پیرامون آن می چرخد و عمل همان تلاش های مثبت اوست که او را به مقصد می رساند .
اگر حساب عمرمان را داشته باشیم آدم حسابی می شویم . بنابراین از حساب امور زند گی خود غافل نشویم چرا که ذات حق دائم به کار حساب مشغول است .
اگر چه منطق ضامن سلامت کار یک ریاضیدان است ولی منبع تغذیه او نیست نان روزانه او را مسائل مهمتر ، که موجب پیشرفت او می شوند تامین می کند .
چه زیباست دررفتار با دیگران خوبی ها را جمع کنیم ، بدی ها را تفریق نماییم ، شادی ها را ضرب نماییم ، غم ها را تقسیم نموده ، از نفرت ها جذر بگیریم و محبت ها را به توان برسانیم .
هندسه شخصیت خود را با خطوطی منظم و راست ترسیم کنیم و فراموش نکنیم که یک انسان مسئول باید زندگی فردی اش را بر دو اصل منفی استوار کند تا زندگی اجتماعی و اقتصادی اش همواره براساس اصل مثبتی پایدار بماند : اول آنکه بیش از نیاز نخواسته باشد تا برای کسب آن خود را به خفت بیندازد دوم آنکه بیش از نیاز نداشته باشد تا برای حفظ آن در هراس بیافتد .
در زندگی خودآزادگی پیشه کن و فراموش نکن ؛آنانکه دل به عرض یک صندلی بسته اند در طول زندگی اسیر بوده اند .
در انتخاب دوستان و همنشینانت دقت کن و همیشه آنان را از میان دانایان و خردمندان برگزین زیرا خردمند با خردمند سازگار است اما نادان نه با دانا سازگار است نه با نادان دیگر چونانکه خط راست بر خط راست دیگر منطبق می شود اما خط ناراست نه بر ناراست دیگر منطبق می شود نه بر راست .
با معادله زیبای زندگی سعی بر آن داشته باش که جدولی مصفا و رسمی دل آرا در حل مختصاتx وy ها شیبی به سوی کمال بی نهایت کشیده گردد تا به مراد خود برسی .
چون هرم بلند همت و چون مخروط عالی نهمت باشید . نور حق و شعاع پرتو جمال محمد ص در کانون قلبتان همراس باد
مشکلات روش های آموزش ریاضی و راهکارهایی برای بهبود آنها
پیشرفتهای سریع و همه جانبه علوم و تکنولوژی و تحولات عظیم اقتصادی و گسترش بی سابقه ارتباطات دیگر دانشهای بشری در قرن بیستم و به ویژه در نیمه دوم آن، مسائل جدیدی را مطرح ساخته است.
در واقع آشنایی جدی با علوم کاربردی- فنی و گاه نظری (محض) امروزی بدون داشتن درک صحیح از مباحث ریاضیات امری دشوار و در واقع محال است. دراین صورت چگونه می توان از خلاقیتها و رشد و باروری استعدادهای دانش آموزان حمایتی همه جانبه داشت چرا که بارها در سطح مدارس دیده شده است که بعضی از دانش آموزان به ایده ها و مسائل جدیدی دست می یابند یا در زمینه یک مسئله علمی، نظری جدید دارند اما به این نظرات توجه خاصی نمی شود.
هر معلمی که عهده دار تدریس ریاضی است یکی از ضروریات کار او واقف بودن به آسیب های آموزشی ریاضی می باشد تا بتواند اهداف آموزشی و مفاهیم پیچیده ریاضی را روشن تر و ملموس تر به دانش آموزان انتقال دهد و آنان را فعال تر وارد شبکه بازی با موجودات ریاضی نماید.
معلم پس از تغییر محتوای آموزشی و درک موقعیت زمان و مکان و ویژگی های یادگیرنده با اعتماد به نفس و اطمینان بیشتری در امر آموزشی می تواند بر چالشهای موجود فائق آید.
در این صورت یادگیرنده هم ضمنِ پرورش خلاقیت هایش با آسودگی خیال و اطمینان خاطر به فراگیری می پردازد و اگر کار گروهی باشد در گروه، شرکت فعال خود را نشان خواهد داد پس رسالت خطیر متخصصان تدریس ریاضی در واقع شناخت یادگیرنده، چگونگی شکل دهی مفاهیم ریاضی، دوباره سازی مفاهیم ریاضی و سرانجام از بین بردن معضلات موجود است.
- آموزش درست ریاضی را چه از نظر ایجاد تفکر ریاضی به منزله تحول فرهنگی و چه به لحاظ تفکر منطقی به منزله تحول سیاسی و عدم وابستگی و چه به لحاظ بهره وری مناسب به منزله تحول اقتصادی که نتایج آن در واقع تبدیل نیروی انسانی به سرمایه های انسانی بهره وری بهینه خود نیازمند دو عامل مهم آموزش و انگیزش در راستای اهداف بهینه اجتماعی می باشد البته آموزش به حد کافی به جامعه در زمنیه های مختلف داده شده اما چون ایجاد انگیزه وجود نداشته آموزش نتوانسته کاربرد داشته باشد.
- برای ایجاد انگیزش در زمینه ریاضیات نیاز به رقابت و رقابت پذیر دانش آموزان می باشد که این رقاب شکل ناسالم به خود گرفته و آموزش از مسیر درست خود منحرف شده در این راستا برای رسیدن به اهداف صحیح می توان ابتدا فرهنگ سازی مناسب نمود تا جلوی اتلاف سرمایه های خانوادگی را گرفت و با دادن اطلاعات درست به دانش آموزان و خانواده ها و یک اطلاع رسانی درست و متحول شدن نظام آموزشی نه در حد یک حرف بلکه تحولی مبنایی و پایه ای به راهکارهای درست تر و معقول تری دست یابیم.
جمع ما بر این مسئله واقفیم که ریاضیات حاصل تلاش ژرف اندیشانی است که به تبیین پدیده های طبیعی و غیرطبیعی جهان هستی می پردازند و پرسشهای مجرد و عملی پیشروی بشریت به صورتهای نظری یا الگوریتمی پاسخ می دهند و وقوع حوادث را عالمانه پیشگویی می کنند.
با توجه به پژوهشهای مختلف در زمینه بعضی از مسائل از قبیل چگونگی آموزش ریاضی و درک عمیق مطلب از طرف یادگیرنده و راههای کاهش اضطراب در زمینه فراگیری و فرآیند یاددهی ریاضی و کند و کاو در بعضی از چالشهای مهم به این نتیجه رسیده ایم که برخی بر این باورند که حجم کتابهای درسی کاهش یابد و یا اینکه در امر آموزش از کتابهای کمک درسی به عنوان کاتالیزور استفاده شود یا کلاسهای تقویتی و خصوصی تست زنی و ... یا معتقد به تغییر مطالب درسی در مسائل گوناگون می باشد اما با توجه به ماهیت دانش ریاضی و ساختار منطقی و پیوسته آن هرگونه تغییر و تحول در کتابهای درسی نیازمند کار کارشناسی دقیق است و باید با درایت وجهان بینی خاص انجام پذیر و خود می دانیم که هرگونه تغییر در متون کتابهای درسی ریاضی و برنامه های دبیرستانی باید مبتنی بر یافته های جهانی پژوهشی آموزش ریاضی، چالشهای بومی و پیشنهادهای صاحبنظران باشد.
هرگونه تغییر سریع در کتب آموزشی ریاضی خود نوعی آسیب و معضلی افزون بر معضلات دیگر خواهد بود.
با توجه به اینکه حدوداً 15 سال است که به تدریس ریاضیات در کلیه پایه های تحصیلی مشغول بوده ام خود بر این باورم که می باید برای رفع خیلی از آسیبها از درون همان فضای کوچک کلاس یا اتاق 4×3 و بیشتر ... شروع کرد و سخت معتقدم که ریاضیات را دانش آموزان می باید در همان کلاس درس یاد بگیرند و مفاهیم را بشناسند و بفهمند و سپس مجرد و ذهنی نمایند چرا که پا از این فضا بیرون گذاشتند هرگز ریاضی را نخواهند فهمید که این امـر شاید به اغـراق نگفته باشم 90% بر می گردد به خود معلم که چگونه بگوید! چگون وارد شود! و چگونه موضوع را بپرورد! و چگونه اهداف ریاضی را تحقق بخشد! در اینجا این سؤال بس مهم است آیا خود معلم واقف بر مطلب و موضوع درسی است یا خیر؟!
در ابتدا ورود به تدریس عوامل جانبی و اضطراب و نگرانی را در چهره تک تک فراگیران می توان دید و احساس کرد که این خود مسائل فراتر از کلاس درس است که بیشتر آن از اجتماع و خانواده ها نشأت گرفته و در جان و ضمیر فراگیرنده ریشه دوانده است و ریاضیات شیرین و لذت بخش را به غولی وحشتناک و هیولایی خطرناک در ذهنشان تصویر کرده که هرگز یاد نخواهند گرفت و بی فایده است....
چرا که با توجه به تورم نرخ رشد جمعیت پشت کنکور خود را در محیطی می بیند البته در مقطع متوسطه که ورود به کنکور برایش گذشتن از گذرگاهی بسیار باریک و پرزحمت خواهد بود و حتی غیرقابل تصور! یا به هر حال پس از آن سر نوشت چه خواهد بود.
- اینجا معلم می تواند نقش آفرینی مثبت خود را ایفا نماید بطوری که با داشتن اعتماد به نفس کامل به او اعتماد به نفس دهد و با تدریس با لذت به دنیای او لذت و شیرینی بخشد و خیلی ساده و راحت با تعاملی دو طرفه امر تدریس را مهیا و عملی سازد و چه شیرین است گاه او معلم باشد گاه دانش آموز....
- جو کلاس را با یک سویه اداره کردن خراب و خشن و خشک نسازد! چرا که فراگیران ما گاه خود معلمین بزرگی هستند که تجارت همین معلمین عزیر را تکامل می بخشد اگر چنین عمل شود هم او با دست خالی از کلاس بیرون آمده هم یادگیرنده و توجه به این نکته لازم است که در این جا نمره بهره وری او نمره صفر است و اتلاف خیلی از ....
یک معلم ریاضی می تواند هم دوست فراگیرنده باشد هم طرف اعتماد و مشورت او و هم الگوی واقعی او، ذکاوت معلم در بکارگیری روشهای نوین آموزشی از جمله روشهای اکتشافی و ارزشی می تواند فراگیرنده را متحول سازد و علاوه بر احساس شخصیت و ارزش به اعتماد به نفس فائق سازد.
و او را تشنه دریافت بیشتر مفاهیم گرداند که به دنبال درس باشد نه معلم در پی او ....
- استفاده از تشویق و تنبیه به موقع وی به آگاهی و بیداری و هوشیاری و سعی و تلاش او کمک شایانی خواهد کرد اشاره به تنبیه شد نه تنبیه بدنی یا محروم ساختن بلکه مثلاً برای تنبیه، دانش آموز موظف شود که فلان مبحث را مثل او تدریس کند که البته این مورد خود نوعی تشویق هم هست و یا تمرینات کلاسی را شبیه سازی کند.
- برای از میان بردن فاصله بین خود و دانش آموز می تواند یک ایستگاه ریاضی در سالن مدرسه ایجاد کند و در فاصله زمانی کلاسها ده دقیقه توقف نماید و به سؤالات دانش آموزان کل مدرسه پاسخ دهند یا روی بُرد آموزشگاه، سؤالاتی را به مسابقه بگذارد و ....
- انتشار یک نشریه یک برگی به صورت ماهانه به نام پیام ریاضی یا خبر و ... که می تواند تحت هر نامی باشد فقط تازه های دنیای ریاضیات را در اختیار عموم دانش آموزان علاقه مند قرار دهد.
 
در ارتباط با اطلاع رسانی سیستم it و بهره وری بهینه از رایانه:
- با توجه به اهمیت رایانه در زندگی روزمره، دولت نیز برای این مهم اعتبارت قابل توجهی به استان اختصاص داده و قرارداهایی نیز با شرکتهای مهم داده پرداز و الکترونیکی منعقد شده و سازمانها و ادارات کل و نهادهای موجود در استان موظف به فراگیری این مهم و ایجاد شبکه های اینترنتی و رایانه ای مورد نیاز شده اند. سازمان آموزش و پرورش لرستان یا هر استان دیگر نیز می توانند با استفاده از فرصت پیش آمده و استفاده بهینه از تجربیات دبیران مجرب ریاضی یا ایجاد یک سایت الکترونیکی بصورت ویدئو کلوپ در دبیرستانها، بهترین و مفیدترین استفاده در امر تدریس را داشته باشد. چرا که از نظر ارتباط با تمام دنیا (پیش بینی می شود تا 10 سال دیگر در کشورهای پیشرفته مردم همان قدر که به نیروی برق وابسته هستند به شبکه اینترنت وابسته خواهند شد یعنی همان طور که اگر امروز برق برود هیچ کاری را نمی توان کرد اگر در 10 سال دیگر اینترنت قطع شود تمامی کارها متوقف خواهند شد).
نتایج یک پژوهش در هند این بوده که: آموزش رایانه ای ریاضی ارزانتر از کلاس درس است و هزینه ای 32% کمتر از کلاس درس می برد.
رفع آسیبها و چالشهای روند رشد فکر ریاضی می توان به دو نکته اساسی  
 توجه همگان را معطوف داشت:
1) عمومی کردن ریاضیات
2) تربیت نخبگان
عمومی کردن ریاضیات ضرورتی عام پیدا کرده. لکن تربیت نخبگان هم کاملاً ضروری و در واقع یکی از هدفهای ارزشمند جوامع مدنی است که می توان به کمک ابزارهای جدیدی برای شناسایی و پرورش استعداهای بالقوة جامعه و به جنبش درآوردن انرژی پتانسیل بسیار قوی و راکد و بکارگیری آن در غالب هدفهای نهایی و آتی آموزشهای مدرن و پیشرفته در سیر صعودی جامعه با فعال و پویا و زنده کردن جامعه مرده و راکد در راه نیل به مقصود با اشتیاق و علاقه گام برداشت.
انرژیهای نهفته در نسل جوان امروز که نیازمند به کمک و یاری و مساعدت جهت قرار گرفتن در مسیرهای درست اندیشه سازی و حاکمیت منطق و استدلال صحیح بر ذهنیات جوان و هدفمند کردن آنان و توان بخشیدن جهت حل مسئله و فهم و درک صحیح مساله با ارزش و تفکیک ارزشها ... و جایگاه صحیح بخشیدن به آنها می توان با برنامه ریزی دقیق و منظم به شگوفایی استعداهای خلاق و عملکرد صحیح و ریشه دار کردن تفکر ریاضی در فرهنگ عام و خاص اقدام و حاصل ساعتها تلاش فکری صحیح و بجا را سودمند نمود. لازم به ذکر است که زمان در گذر است و هرچه سریعتر گام برداشتن به نفع آنان و جامعة فردایمان خواهد بود.
به راهکارهایی که به روند رشد و توسعه تفکر ریاضی و عامیت بخشیدن به ریاضیات چه محض چه کاربردی می توان به مسائل زیر تأکید داشت:
فرضاً برای آموزش هندسه ابتدا توجه به شکلها: اگر دانش آموز هنگام مطالعه کتاب شخصاً شکلها را رسم کند و برای هر گزاره شکل جداگانه ای در نظر بگیرد بهرة فراوانی خواهد برد. گاهاً یک طرح خام برای درک صحیح کفایت می کند. وقتی که شکل پیچیده تری مورد نیاز باشد این شکل در کتاب به عنوان راهنمایی برای ایجاد نظم در بین اجزاء و عناصر مسئله مد نظر قرار می گیرد و گزاره ها را در ذهن خواننده تثبیت می کند.
تمرینها: معمولاً تمرینات کتب درسی در ریاضیات دو هدف را دنبال می کنند خواننده با انجام تمرینها میزان تسلط خود را بر مطالبی که مطالعه کرده است محک می زند و نیز این فرصت را می یابد که با اعمال روشهای عرضه شده در کتاب مربوطه توانایی خود را در به کارگیری این مطالب بسنجد. دانش آموز باید بداند مسئله ای را که می خواهد حل کند چیست اگر صورت مسئله قابل فهم نباشد یا نفهمد قادر به حل مسئله نخواهد شد.
ما توصیه می کنیم حل مسئله را با گزاره های ساده ای آغاز کنند که در درک محتوای مسئله بتوانند شرایط را بطور قابل ملاحظه تغییر دهند و فوراً حس فهم مسئله در آنان ایجاد شود.
همه می دانیم تسلط پیدا کردن بر معنی مسئله بخش اساسی و اغلب دشوارترین بخش حل مسئله خواهد بود. اگر دانش آموز برای حصول اطمینان خود بتواند برای درک مسئله صورت مسئله را بدون استفاده از کتاب تکرار کند یا دوباره نویسی کند حتی مشابه نویسی در اینصورت می تواند رسم کند قاعده برای حل بیان کند به اطلاعات گذشته مراجعه کند با بدست آوردن ابرازهای کافی به کمک عناصر مفروض و عناصر مطلوب شکل مناسبی پیش رو داشته باشد و سپس به حل مسئله بپردازد.
او نباید انتظار داشته باشد با دیدن صورت مسئله قادر به حل و درک و فهم آن باشد او باید قادر و توانمند به مسئله روی آورد. و سپس به حل آن بپردازد و راه حل یابد. بیش از هر چیز صبر و حوصله و دقت و استفاده بهینه از زمانِ در کف، باشد. لذا کسانی موفق به حل مسائل چه ریاضی چه غیره خواند بود که صبر و حوصله به خرج دهند، دلسرد نشوند، با اراده و پشتکار و استفاده از الگوهای موفق به حل بپردازند و امید به آینده و راه ندادن یأس و نومیدی در افکار و هنگام روبرو شدن با موانع عزم و اراده بیشتری در از میان برداشتن آنها از خود نشان دهد.
اگر انسان امیدوارانه و با دید مثبت (توانگری) به حل مسئله بپردازد نهایتاً نتیجه مسرت بخش و احساس لذت از پیروزی و موفقیت نصیب فرد خواهد شد.
استفاده از کتب کمکی تا حدودی جنبة آموزشی دارد و مسائل مطرح در آن قطعاً هدفمند و در روشهای حل بسیاری دانش آموزان خواهد آمد.
عموماً طرح یک عنوان عام ریاضی و ارائه قضایاها و مثالهای گوناگون برای تفهیم هر چه بیشتر آن، استفاده از روشهای نو و کارساز در حال مسائل خواننده را در جایگاهی می نشاند که احساس می کند به ابزارهای توانمند در حل مسائل دست یافته است و می تواند یا قادر خواهد بود در عرصه های دیگر هم آنها را به کار برد.
کسی که ریاضیات می خواند و علاقه مند است عموماً تئوری اعداد یا تئوری مقدماتی اعداد باید یکی از مهمترین موضوعها برای تعلیم اولیه ریاضیات باشد. چندان اطلاع قبلی نمی خواهد موضوعش بسیار ملموس و مأنوس است، طریقه ها را استدلال که به کار می گیرد ساده کلی و تعدادشان کم است و از لحاظ تحریک کنجکاوی طبیعی آدمی در علوم ریاضی مانند ندارد. یک ما تعلیم فهیمانه ریاضی  پایه و تئوری نظری اعداد یا مقدماتی اعداد بسیار آموزنده تر و مفیدتر از آموزش ریاضیات و علوم دیگر در ریاضی خواهد بود.
  هنر آموزش ریاضیات
انواع هنر همچون ابزار قدرتمندی هستند که می توانند به رویارو شدن با دشواری های ریاضی به بهترین شکل ممکن کمک کنند. دشواریهایی که هدف از تسهیل آنها بهبود یاددهی و یادگیری می باشد. نقش آموزشی هنر نه تنها در بهبود کیفیت فهم مساله بسیار حیاتی و اساسی است بلکه برای متحول کردن طرز تفکر به شیوه های گوناگون دارای قدرت و ظرافتی است که در سایر موضوعات آموزشی چنین قدرتی را سراغ نداریم. مطالعات و بررسی ها نشان داده اند که انواع هنر مهارتهای تفکر انتقادی مربوط به طرح و حل مساله - تجزیه و تحلیل - ترکیب - ارزشیابی و تصمیم گیری در مورد پارامترهای مساله را تحریک و تقویت می کنند. تربیت هنری موجب پرورش توانایی تعبیر و فهم نمادهای پیچیده می شود که نمونه بارز آن آشنایی با نمادهای ریاضی می باشد. همچنین در پرورش خلاقیت نقش محوری را ایفا می کند و موجب پرورش مهارت به تصویر کشیدن ذهنی مساله می شود و آموزنده را توانمند می کند تا روشهای حل غیر متعارف و غیر سنتی را به ذهن بیاورد. لازم به یادآوری است که مطالعه و تولید اثر هنری به خودی خود دارای اعتبار است . ازاین جهت شکل گیری آموزش ریاضیات به صورت هنری هویت فرهنگی را در چارچوب هدفمندی حفظ و نگهداری می کند و بالعکس به کارگیری هنر به بهترین شکل در فهم و ادراک مطالب کمک شایانی می کند.
با ذکر این مطالب و روشن شدن ارزش آموزش ریاضی مبتنی بر هنر تنها اشاره به این نکته کافیست که آموزش هنری ریاضیات امری بنیادی به خصوص در مقاطع اولیه تحصیلی میباشد و بکارگیری آن نباید امری تجملی تلقی گردد.
با توجه به مطالب گفته شده پیشنهاد می شود که:
با توجه به تحقیقات به عمل آمده به نظر می رسد
1- که می بایست با برگزاری همایش و سمینارها، معلمان ریاضی با مهارتهای حرفه ای و فنون کلاسداری بیشتر آشنا شوند.
2-  نظر می آید که معلمین ریاضی در تدریس خود

 می بایست از شیوه های تمرین و تکرار و پرسش و پاسخ بیشتر استفاده نمایند تا بدین ترتیب
موضوعات تمرکز و حواس و تفکر زیادتر دانش آموزان و رسیدن به سطوح بالاتر یادگیری را فراهم
 نمایند و با استفاده از تمرین و تکرار جایگزینی مطالب را در ذهن دانش آموزان آسانتر سازند.
3-    با گذاشتن دوره های ضمن خدمت و نمایشگاهها، معلمان ریاضی با وسایل کمک آموزشی
 ریاضی و چگونگی ساخت آنها آشنا گردند.
 
1- هندسة مسطحه، تألیف ناتان التشیلر کورت، ترجمه محمود دیانی.
2 - آشنایی با نظریه اعداد، تألیف ویلیام و-آدامز-گولدشتین، ترجمه آدینه محمد نارنجانی.
3- نخستین گامها در المپیاد، تألیف ویلیام و-آدامز-گولدشتین، ترجمه ابراهیم دارابی.
4- نظریه اعداد، تألیف رؤیا بهشتی زواره، ترجمه مریم میرزاخانی.
5- جبر مجرد، تألیف جان ب. فرالی، ترجمه مسعود فروزان.